【题目】(1)尝试探究
如图1,等腰Rt△ABC的两个顶点B,C在直线MN上,点D是直线MN上一个动点(点D在点C的右边),BC=3,BD=m,在△ABC同侧作等腰Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,EF⊥ MN于点F,连结CE.
①求DF的长;
②在判断AC⊥CE是否成立时,小明同学发现可以由以下两种思路解决此问题:
思路一:先证CF=EF,求出∠ECF=45°,从而证得结论成立.
思路二:先求DF,EF的长,再求CF的长,然后证AC2+CE2=AE2,从而证得结论成立.
请你任选一种思路,完整地书写本小题的证明过程.(如用两种方法作答,则以第一种方法评分)
(2)拓展探究
将(1)中的两个等腰直角三角形都改为有一个角为的直角三角形,如图2, ∠ABC=∠ADE=90°,∠BAC=∠DAE=30°,BC=3,BD=m,当4≤m≤6时,求CE长的范围.
【答案】(1)①3;②详见解析;(2).
【解析】
(1)①证明△ABD≌ △DFE即可得出结论;
②思路一:先证CF=EF,求出∠ECF=45°,从而证得结论成立.
思路二:先求DF,EF的长,再求CF的长,然后证AC2+CE2=AE2,从而证得结论成立.
(2)易证△ ABD ∽△ DFE,得,可求出CF= m,CE=,得∠ACE=90°,所以无论m取何大于3的数,AC⊥CE总成立,即点E在一条直线上运动,因此可求出当4≤m≤6时,CE长的范围.
(1)①在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中,∠ABC=∠ADE=90°,∴∠ADB+∠EDF=90°,
∵EF⊥ MN,
∴∠DEF+∠EDF=90°,
∴∠ADB=∠DEF,
在△ABD和△DFE中,
∴△ABD≌ △DFE(AAS),
∴DF=AB=BC=3;
②证明:思路一:
由①得△ABD≌ △DFE(AAS),
∴DF=AB=BC=3,EF=BD=m,
∴CF=CD+DF=CD+BC=BD=m,
∴CF=EF,
∵EF⊥ MN,
∴∠ECF=45°,
∵∠ACB=45°,
∴∠ACE=90°,
即AC⊥CE;
思路二:由(1)知,DF=AB=3,EF=BD=3+m
∴DE=AD=
∴AE=
又由(1)可知,∠EFD=∠ABC=90°,CF=EF=3+m,
∴AC=3,CE=(3+m)
∵AC2+CE2== AE2,
∴△ACE是直角三角形,即AC⊥CE;
(2)如图,作EF⊥ MN,
∴∠DEF+∠EDF=90°,
∵∠ADE=90°,
∴∠ADB+∠EDF=90°,
∴∠ADB=∠DEF,
∴△ ABD ∽△ DFE,
∴,
∴EF=,DF=3,
∴CF=CD+DF=CD+BC=BD=m,
∴在Rt△CEF中,tan∠ECF=,
∴∠ECF=30°,CE=2EF=,
∴∠ACE=90°,
即AC⊥CE,
∴无论m取何大于3的数,AC⊥CE总成立,即点E在一条直线上运动,
∴4≤m≤6时,CE长的范围是.
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【题目】对于二次函数,有下列结论:①其图象与x轴一定相交;②若,函数在时,y随x的增大而减小;③无论a取何值,抛物线的顶点始终在同一条直线上;④无论a取何值,函数图象都经过同一个点.其中所有正确的结论是___.(填写正确结论的序号)
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【题目】如图,A(4,3)是反比例函数y=在第一象限图象上一点,连接OA,过A作AB∥x轴,截取AB=OA(B在A右侧),连接OB,交反比例函数y=的图象于点P.
(1)求反比例函数y=的表达式;
(2)求点B的坐标;
(3)求△OAP的面积.
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【题目】折纸飞机是我们儿时快乐的回忆,现有一张长为290mm,宽为200mm的白纸,如图所示,以下面几个步骤折出纸飞机:(说明:第一步:白纸沿着EF折叠,AB边的对应边A′B′与边CD平行,将它们的距离记为x;第二步:将EM,MF分别沿着MH,MG折叠,使EM与MF重合,从而获得边HG与A′B′的距离也为x),则PD=______mm.
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【题目】如图1,在△ABC中,∠ABC=90°,AO是△ABC的角平分线,以O为圆心,OB为半径作圆交BC于点D,
(1)求证:直线AC是⊙O的切线;
(2)在图2中,设AC与⊙O相切于点E,连结BE,如果AB=4,tan∠CBE=.
①求BE的长;②求EC的长.
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【题目】甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中,甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示.则下列结论:①A,B两城相距300千米;②乙车比甲车晚出发1小时,却早到1.5小时;③乙车出发后2.5小时追上甲车;④当甲、乙两车相距40千米时,t=或t=,其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】观察猜想:(1)如图①,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=3,点D与点A重合,点E在边BC上,连接DE,将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF,连接BF,BE与BF的位置关系是 ,BE+BF= ;
探究证明:(2)在(1)中,如果将点D沿AB方向移动,使AD=1,其余条件不变,如图②,判断BE与BF的位置关系,并求BE+BF的值,请写出你的理由或计算过程;
拓展延伸:(3)如图③,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=a,点D在边BA的延长线上,BD=n,连接DE,将线段DE绕着点D顺时针旋转,旋转角∠EDF=a,连接BF,则BE+BF的值是多少?请用含有n,a的式子直接写出结论.
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【题目】如图,已知点D在反比例函数的图象上,过点D作x轴的平行线交y轴于点B(0,2),过点A(,0)的直线y=kx+b与y轴于点C,且BD=2OC,tan∠OAC=.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)连接CD,试判断线段AC与线段CD的关系,并说明理由;
(3)点E为x轴上点A左侧的一点,且AE=BD,连接BE交直线CA于点M,求tan∠BMC的值.
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【题目】如图1,菱形ABCD中,∠B=60°,动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B,同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B出发沿折线B﹣C﹣D运动到点D.图2是点P、Q运动时,△BPQ的面积S随时间t变化关系图象,则a的值是( )
A.2B.2.5C.3D.2
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