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(2010•石景山区二模)(1)已知:如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,CD平分∠ACB,点E为AB中点,PE⊥AB交CD的延长线于P,猜想:∠PAC+∠PBC=______°(直接写出结论,不需证明).
(2)已知:如图2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC≠45°,CD平分∠ACB,点E为AB中点,PE⊥AB交CD的延长线于P,(1)中结论是否成立,若成立,请证明;若不成立请说明理由.

【答案】分析:(1)根据三角形和四边形的内角和定理可猜想:∠PAC+∠PBC=180°;
(2)连接CE,如能够证明CE=PE=EB=AE,即可得△PAE与△PBE为等腰直角三角形,则∠APB=45°+45°=90°,再由四边形的内角和即可得证;由已知易证AE=EB=EC,主要是证明PE=EC=AE,可由∠EAC=∠ECA,则∠DCE=∠ECA-∠DCA=∠EAC-45°,又∵∠DAC=180°-∠ADC-45°=135°-∠PDE,
∴∠DCE=135°-∠PDE-45°=90°-∠PDE=∠DPE,即可得证.
解答:解:(1)猜想:∠PAC+∠PBC=180°;

(2)结论:依然成立.
证明:连接CE.
∵E为AB中点,
∴AE=EB=EC,
∴∠EAC=∠ECA,
∴∠DCE=∠ECA-∠DCA=∠EAC-45°,
又∵∠DAC=180°-∠ADC-45°=135°-∠PDE,
∴∠DCE=135°-∠PDE-45°=90°-∠PDE=∠DPE,
∴PE=EC=AE,
∴△PAE与△PBE为等腰直角三角形,∠APB=90°,
∴∠PAC+∠PBC=360°-∠APB-∠ACB=360°-90°-90°=180°.
点评:此题综合考查角平分线的定义、等腰直角三角形的判定、直角三角形的性质和三角形、四边形的内角和等知识点,难度较大,辅助线的作法是关键.
练习册系列答案
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