Question

（2010•石景山区二模）（1）已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，CD平分∠ACB，点E为AB中点，PE⊥AB交CD的延长线于P，猜想：∠PAC+∠PBC=______°（直接写出结论，不需证明）．
（2）已知：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC≠45°，CD平分∠ACB，点E为AB中点，PE⊥AB交CD的延长线于P，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据三角形和四边形的内角和定理可猜想：∠PAC+∠PBC=180°；
（2）连接CE，如能够证明CE=PE=EB=AE，即可得△PAE与△PBE为等腰直角三角形，则∠APB=45°+45°=90°，再由四边形的内角和即可得证；由已知易证AE=EB=EC，主要是证明PE=EC=AE，可由∠EAC=∠ECA，则∠DCE=∠ECA-∠DCA=∠EAC-45°，又∵∠DAC=180°-∠ADC-45°=135°-∠PDE，
∴∠DCE=135°-∠PDE-45°=90°-∠PDE=∠DPE，即可得证．
解答：解：（1）猜想：∠PAC+∠PBC=180°；

（2）结论：依然成立．
证明：连接CE．
∵E为AB中点，
∴AE=EB=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠DCE=∠ECA-∠DCA=∠EAC-45°，
又∵∠DAC=180°-∠ADC-45°=135°-∠PDE，
∴∠DCE=135°-∠PDE-45°=90°-∠PDE=∠DPE，
∴PE=EC=AE，
∴△PAE与△PBE为等腰直角三角形，∠APB=90°，
∴∠PAC+∠PBC=360°-∠APB-∠ACB=360°-90°-90°=180°．
点评：此题综合考查角平分线的定义、等腰直角三角形的判定、直角三角形的性质和三角形、四边形的内角和等知识点，难度较大，辅助线的作法是关键．