如图①.O为坐标原点.点B在x轴的正半轴上.四边形OACB是平行四边形.sin∠AOB=.反比例函数y=在第一象限内的图象经过点A.与BC交于点F．(1)若OA=10.求反比例函数解析式,(2)若点F为BC的中点.且△AOF的面积S=12.求OA的长和点C的坐标,中的条件下.过点F作EF∥OB.交OA于点E.点P为直线EF上的一个动点.连接PA.PO．是否存在这样的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=

，反比例函数y=

（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．
（1）若OA=10，求反比例函数解析式；
（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；
（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】分析：（1）先过点A作AH⊥OB，根据sin∠AOB=

，OA=10，求出AH和OH的值，从而得出A点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k的值，即可求出反比例函数的解析式；
（2）先设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，根据sin∠AOB=

，得出AH=

a，OH=

a，求出S_△AOH的值，根据S_△AOF=12，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S_△OBF=6，
根据BF=

a，∠FBM=∠AOB，得出S_△BMF=

BM•FM，S_△FOM=6+

a²，再根据点A，F都在y=

的图象上，S_△AOH=

k，求出a，最后根据S_{平行四边形AOBC}=OB•AH，得出OB=AC=3

，即可求出点C的坐标；
（3）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P₁，P₂；当∠PAO=90°时，求出P₃；当∠POA=90°时，求出P₄即可．
解答：

解：（1）过点A作AH⊥OB于H，
∵sin∠AOB=

，OA=10，
∴AH=8，OH=6，
∴A点坐标为（6，8），根据题意得：
8=

，可得：k=48，
∴反比例函数解析式：y=

（x＞0）；

（2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，
∵sin∠AOB=

，
∴AH=

a，OH=

a，
∴S_△AOH=

•

a•

a²，
∵S_△AOF=12，
∴S_{平行四边形AOBC}=24，
∵F为BC的中点，
∴S_△OBF=6，
∵BF=

a，∠FBM=∠AOB，
∴FM=

a，BM=

a，
∴S_△BMF=

BM•FM=

a•

a²，
∴S_△FOM=S_△OBF+S_△BMF=6+

a²，
∵点A，F都在y=

的图象上，
∴S_△AOH=

k，
∴

a²=6+

a²，
∴a=

，
∴OA=

，
∴AH=

，OH=2

，
∵S_{平行四边形AOBC}=OB•AH=24，
∴OB=AC=3

，
∴C（5

，

）；

（3）存在三种情况：
当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，分别为：P₁（

，

），P₂（-

，

），
当∠PAO=90°时，P₃（

，

），
当∠POA=90°时，P₄（-

，

）．
点评：此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，要注意运用数形结合的思想，要注意（3）有三种情况，不要漏解．

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