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如图,四边形ABCD为矩形,AB=4,AD=3,动点M、N分别从D、B同时出发,以1个单位/秒的速度运动,点M沿DA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC,交AC于点P,连结MP。已知动点运动了秒。

小题1:请直接写出PN的长           ;(用含的代数式表示)
小题2:若0秒≤≤3秒,试求△MPA的面积S与时间秒的函数关系式,并求S的最大值。
小题3:若0秒≤≤3秒,△MPA能否与△PCN相似?若能,试求出相似时的对应值;若不能,试说明理由。

小题1:
小题2:延长NP交AD于点Q,则PQ⊥AD,由⑴得:PN=

依题意,可得:
∵0≤≤1.5
∴当时,S有最大值,S最大值。…………………4分
小题3:能相似
共有两种情况,以下分类说明:
  …………………2分
②3或…………………2分
综上所述,当,或,或时,△MPA与△NPA相似
(1)可在直角三角形CPN中,根据CN的长和∠CPN的正切值求出.
(2)三角形MPA中,底边AM的长为3-x,关键是求出MA边上的高,可延长NP交AD于Q,那么PQ就是三角形AMP的高,可现在直角三角形CNP中求出PN的长,进而根据AB的长,表示出PQ的长,根据三角形的面积公式即可得出S与x的函数关系式.根据函数的性质可得出S的最大值.
(3)本题要分三种情况:
①MP=PA,那么AQ=BN=AM,可用x分别表示出BN和AM的长,然后根据上述等量关系可求得x的值.
②MA=MP,在直角三角形MQP中,MQ=MA-BN,PQ=AB-PN根据勾股定理即可求出x的值.
③MA=PA,不难得出AP=BN,然后用x表示出AM的长,即可求出x的值.
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