Question

8．如图，顶点为A的抛物线y=a（x+2）²-4交x轴于点B（1，0），连接AB，过原点O作射线OM∥AB，过点A作AD∥x轴交OM于点D，点C为抛物线与x轴的另一个交点，连接CD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线OM运动，设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，OB=AP；
（3）若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OD向点D运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接PQ．问：当t为何值时，四边形CDPQ的面积最小？并求此时PQ的长．

Answer 1

分析 （1）将点B的坐标代入到抛物线的解析式中即可求得a值，从而求得其解析式；
（2）利用两点坐标求得线段AB的长，然后利用平行四边形的对边相等求得t=5时，四边形ABOP为平行四边形；若四边形ABOP为等腰梯形，连接AP，过点P作PG⊥AB，过点O作OH⊥AB，垂足分别为G、H，根据△APG≌△BOH求得线段OP=GH=AB-2BH=$\frac{19}{5}$．
（3）首先判定四边形ABOD是平行四边形，然后确定S_△DOC=$\frac{1}{2}$×5×4=10．过点P作PN⊥BC，垂足为N，利用△OPN∽△BOH得到PN=$\frac{4}{5}$t，然后表示出四边形CDPQ的面积S=S_△DOC-S_△OPQ=10-$\frac{1}{2}$×（5-2t ）×$\frac{4}{5}$t=$\frac{4}{5}$t²-2 t+10，从而得到当t=$\frac{5}{4}$时，四边形CDPQ的面积S最小．然后得到点P的坐标是（-$\frac{3}{4}$，-1），点Q的坐标是（-$\frac{5}{2}$，0），利用两点坐标公式确定PQ的长即可．

解答 解：（1）把（1，0）代入y=a（x+2）²-4，
得a=$\frac{4}{9}$．
∴y=$\frac{4}{9}$（x+2）²-4，
即y=$\frac{4}{9}$x²+$\frac{16}{9}$x-$\frac{20}{9}$；

（2）由题意得OP=t，AB=$\sqrt{（-2-1）^{2}+（-4-0）^{2}}$=5，
若OB∥AP，即四边形ABOP为平行四边形时，OB=AP，且OP=AB=5，即当t=5时，OB=AP，
若OB不平行于AP，即四边形ABOP为等腰梯形时，OB=AP，连接AP，过点P作PG⊥AB，过点O作OH⊥AB，垂足分别为G、H，
∴△APG≌△BOH，
在Rt△OBM中，
∵OM=$\frac{4}{3}$，OB=1，
∴BM=$\frac{5}{3}$，
∴OH=$\frac{4}{5}$，
∴BH=$\frac{3}{5}$，
∴OP=GH=AB-2BH=$\frac{19}{5}$，
即当t=$\frac{19}{5}$时，OB=AP；

（3）将y=0代入y=$\frac{4}{9}$ x²+$\frac{16}{9}$x-$\frac{20}{9}$，得$\frac{4}{9}$ x²+$\frac{16}{9}$x-$\frac{20}{9}$=0，
解得x=1或-5．
∴C（-5，0）．
∴OC=5，
∵OM∥AB，AD∥x轴，
∴四边形ABOD是平行四边形，
∴AD=OB=1，
∴点D的坐标是（-3，-4），
∴S_△DOC=$\frac{1}{2}$×5×4=10，
过点P作PN⊥BC，垂足为N．易证△OPN∽△BOH，
∴$\frac{PN}{OH}$=$\frac{OP}{OB}$，
即$\frac{PN}{\frac{4}{5}}$=$\frac{t}{1}$，
∴PN=$\frac{4}{5}$t，
∴四边形CDPQ的面积S=S_△DOC-S_△OPQ=10-$\frac{1}{2}$×（5-2t）×$\frac{4}{5}$t=$\frac{4}{5}$t²-2t+10，
∴当t=$\frac{5}{4}$时，四边形CDPQ的面积S最小，
此时，点P的坐标是（-$\frac{3}{4}$，-1），点Q的坐标是（-$\frac{5}{2}$，0），
∴PQ=$\sqrt{（-\frac{5}{2}+\frac{3}{4}）^{2}+（0+1）^{2}}$=$\frac{\sqrt{65}}{4}$．

点评 此题主要考查二次函数的综合问题，运用待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，等腰梯形的性质，三角形面积的计算，勾股定理，熟练的掌握解直角三角形是解题的关键．