Question

如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，下列条件中：①∠BAE=∠CEF；②∠AEB=∠EFC；③AE⊥EF④．能使△ABE∽△ECF的有

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

D
分析：由四边形ABCD为正方形，利用正方形的性质四个角为直角，可得出∠B=∠C=90°，若∠BAE=∠CEF，再由∠B=∠C=90°，利用两对对应角相等的三角形相似可得出三角形ABE与三角形ECF相似；若∠AEB=∠EFC，再由∠B=∠C=90°，利用两对对应角相等的三角形相似可得出三角形ABE与三角形ECF相似；若AE垂直于EC，根据平角的定义可得出一对角互余，再由直角三角形ABE的两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由∠B=∠C=90°，利用两对对应角相等的三角形相似可得出三角形ABE与三角形ECF相似；若AB：EC=BE：CF，加上夹角∠B=∠C，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可得出三角形ABE与三角形ECF相似，综上，得出四个选项都能使三角形ABE与三角形ECF相似．
解答：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
若∠BAE=∠CEF，可得△ABE∽△ECF，
则选项①能使△ABE∽△ECF；
若∠AEB=∠EFC，可得△ABE∽△ECF，
则选项②能使△ABE∽△ECF；
若AE⊥EF，可得∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
又∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECF，
则选项③能使△ABE∽△ECF；
若=，再由夹角∠B=∠C=90°，可得出△ABE∽△ECF，
则选项④能使△ABE∽△ECF，
综上，能使△ABE∽△ECF的选项有①②③④，共4个．
故选D
点评：此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，利用了转化的数学思想，相似三角形的判定方法有：两对对应角相等的两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似．