Question

16．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a＜0）的图象经过点（-1，1），（4，-4）．下列结论：
（1）$\frac{a}{c}$＜0；
（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
（3）x=4是方程ax²+（b+1）x+c=0的一个根；
（4）当-1＜x＜4时，ax²+（b+1）x+c＞0．
其中正确的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 将点（-1，1），（4，-4）分别代入y=ax²+bx+c，得到a-b+c=1①，16a+4b+c=-4②，用②-①，整理得到b=-1-3a，则c=-4a，然后利用二次函数的性质及一元二次方程的解的定义即可判断．

解答 解：∵二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a＜0）的图象经过点（-1，1），（4，-4），
∴a-b+c=1①，
16a+4b+c=-4②，
②-①，得15a+5b=-5，即3a+b=-1，
∴b=-1-3a，
∴c=1-a+b=1-a-1-3a=-4a．
（1）∵c=-4a，
∴$\frac{a}{c}$=$\frac{a}{-4a}$=-$\frac{1}{4}$＜0，故结论正确；
（2）∵y=ax²+bx+c=ax²+（-1-3a）x-4a，
∴对称轴为直线x=$\frac{1+3a}{2a}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2a}$，
∵a＜0，
∴x=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2a}$＜$\frac{3}{2}$，
∴当x＞$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2a}$时，y的值随x值的增大而减小，故结论错误；
（3）∵16a+4b+c=-4，
∴16a+4（b+1）+c=0，
∴x=4是方程ax²+（b+1）x+c=0的一个根，故结论正确；
（4）∵a-b+c=1，
∴a-（b+1）+c=0，
∴x=-1是方程ax²+（b+1）x+c=0的一个根，
由（3）知x=4是方程ax²+（b+1）x+c=0的一个根，
∴（-1，0），（4，0）是二次函数y=ax²+（b+1）x+c与x轴的两个交点，
又∵a＜0，
∴当-1＜x＜4时，y＞0，即ax²+（b+1）x+c＞0，故结论正确．
所以正确的结论是（1）（3）（4）．
故选C．

点评 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，一元二次方程的解的定义，求出b=-1-3a，c=-4a是解题的关键．