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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D为AB边上的一动点(D不与A、B重合),过D作DE∥BC,交AC于点E.把△ADE沿直线DE折叠,点A落在点A′处.连接BA′,设AD=x,△ADE的边DE上的高为y.

(1)求出y与x的函数关系式;
(2)若以点A′、B、D为顶点的三角形与△ABC 相似,求x的值;
(3)当x取何值时,△A′DB是直角三角形.

【答案】
(1)

解:如图1,

过A点作AM⊥BC,垂足为M,交DE于N点,则BM= BC=3,

∵DE∥BC,

∴AN⊥DE,即y=AN.

在Rt△ABM中,AM= =4,

∵DE∥BC,

∴△ADE∽△ABC,

=

=

∴y= (0<x<5)


(2)

解:∵△A'DE由△ADE折叠得到,

∴AD=A'D,AE=A'E,

∵由(1)可得△ADE是等腰三角形,

∴AD=AE,

∴A'D=A'E,

∴四边形ADA'E是菱形,

∴AC∥D A',

∴∠BDA'=∠BAC,

又∵∠BAC≠∠ABC,

∴∠BDA'≠∠ABC,

∵∠BAC≠∠C,

∴∠BDA'≠∠C,

∴有且只有当BD=A'D时,△BDA'∽△BAC,

∴当BD=A'D,即5﹣x=x时,x=


(3)

解:第一种情况:∠BDA'=90°,

∵∠BDA'=∠BAC,而∠BAC≠90°,

∴∠BDA'≠90°.

第二种情况:∠BA'D=90°,

∵在Rt△BA'D中,DB2﹣A'D2=A'B2

在Rt△BA'M中,A'M2+BM2=A'B2

∴DB2﹣A'D2=A'M2+BM2

∴(5﹣x)2﹣x2=(4﹣ x)2+(3)2

解得x=

第三种情况:∠A'BD=90°,

∵∠A'BD=90°,∠AMB=90°,

∴△BA'M∽△ABM,

= ,∴BA'=

在Rt△D BA'中,DB2+A'B2=A'D2

(5﹣x)2+ =x2

解得:x=

综上可知当x= 时,△A'DB是直角三角形


【解析】(1)先过A点作AM⊥BC,得出BM= BC=3,再根据DE∥BC,得出AN⊥DE,即y=AN,再在Rt△ABM中,求出AM的值,再根据DE∥BC,求出△ADE∽△ABC,即可求出y与x的函数关系式;(2)根据△A'DE由△ADE折叠得到,得出AD=A'D,AE=A'E,再由(1)可得△ADE是等腰三角形,得出AD=A'D,AE=A'E,即可证出四边形ADA'E是菱形,得出∠BDA'=∠BAC,再根据∠BAC≠∠ABC,∠BAC≠∠C,得出∠BDA'≠∠ABC,∠BDA'≠∠C,从而证出△BDA'∽△BAC,即可求出x的值;(3)先分三种情况进行讨论;第一种情况当∠BDA′=90°,得出∠BDA'≠90°;第二种情况当∠BA'D=90°,根据∠BAM<90°,∠BA'D<∠BAM,可得∠BA'D≠90°;第三种情况当∠A'BD=90°,根据∠A'BD=90°,∠AMB=90°,得出△BA'M∽△ABM,即可求出BA′的值,再在Rt△D BA'中,根据DB2+A'B2=A'D2 , 求出x的值,即可证出△A′DB是直角三角形;
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识,掌握等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角),以及对翻折变换(折叠问题)的理解,了解折叠是一种对称变换,它属于轴对称,对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和角相等.

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,5.2,0,-6,,0.232323…,,2005,-0.313113111,1.123456…

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无理数集合: { _____________ …}.

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束】
12

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第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

第六次

第七次

第八次

第九次

第十次

7

10

8

10

9

9

10

8

10

9

10

7

10

9

9

10

8

10

7

10

(1)选手甲的成绩的中位数是__________分;选手乙的成绩的众数是__________分;

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