【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D为AB边上的一动点(D不与A、B重合),过D作DE∥BC,交AC于点E.把△ADE沿直线DE折叠,点A落在点A′处.连接BA′,设AD=x,△ADE的边DE上的高为y.
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)若以点A′、B、D为顶点的三角形与△ABC 相似,求x的值;
(3)当x取何值时,△A′DB是直角三角形.
【答案】
(1)
解:如图1,
过A点作AM⊥BC,垂足为M,交DE于N点,则BM= BC=3,
∵DE∥BC,
∴AN⊥DE,即y=AN.
在Rt△ABM中,AM= =4,
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴ = ,
∴ = ,
∴y= (0<x<5)
(2)
解:∵△A'DE由△ADE折叠得到,
∴AD=A'D,AE=A'E,
∵由(1)可得△ADE是等腰三角形,
∴AD=AE,
∴A'D=A'E,
∴四边形ADA'E是菱形,
∴AC∥D A',
∴∠BDA'=∠BAC,
又∵∠BAC≠∠ABC,
∴∠BDA'≠∠ABC,
∵∠BAC≠∠C,
∴∠BDA'≠∠C,
∴有且只有当BD=A'D时,△BDA'∽△BAC,
∴当BD=A'D,即5﹣x=x时,x=
(3)
解:第一种情况:∠BDA'=90°,
∵∠BDA'=∠BAC,而∠BAC≠90°,
∴∠BDA'≠90°.
第二种情况:∠BA'D=90°,
∵在Rt△BA'D中,DB2﹣A'D2=A'B2,
在Rt△BA'M中,A'M2+BM2=A'B2,
∴DB2﹣A'D2=A'M2+BM2,
∴(5﹣x)2﹣x2=(4﹣ x)2+(3)2,
解得x= ;
第三种情况:∠A'BD=90°,
∵∠A'BD=90°,∠AMB=90°,
∴△BA'M∽△ABM,
即 = ,∴BA'= ,
在Rt△D BA'中,DB2+A'B2=A'D2,
(5﹣x)2+ =x2,
解得:x= .
综上可知当x= 或 时,△A'DB是直角三角形
【解析】(1)先过A点作AM⊥BC,得出BM= BC=3,再根据DE∥BC,得出AN⊥DE,即y=AN,再在Rt△ABM中,求出AM的值,再根据DE∥BC,求出△ADE∽△ABC,即可求出y与x的函数关系式;(2)根据△A'DE由△ADE折叠得到,得出AD=A'D,AE=A'E,再由(1)可得△ADE是等腰三角形,得出AD=A'D,AE=A'E,即可证出四边形ADA'E是菱形,得出∠BDA'=∠BAC,再根据∠BAC≠∠ABC,∠BAC≠∠C,得出∠BDA'≠∠ABC,∠BDA'≠∠C,从而证出△BDA'∽△BAC,即可求出x的值;(3)先分三种情况进行讨论;第一种情况当∠BDA′=90°,得出∠BDA'≠90°;第二种情况当∠BA'D=90°,根据∠BAM<90°,∠BA'D<∠BAM,可得∠BA'D≠90°;第三种情况当∠A'BD=90°,根据∠A'BD=90°,∠AMB=90°,得出△BA'M∽△ABM,即可求出BA′的值,再在Rt△D BA'中,根据DB2+A'B2=A'D2 , 求出x的值,即可证出△A′DB是直角三角形;
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识,掌握等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角),以及对翻折变换(折叠问题)的理解,了解折叠是一种对称变换,它属于轴对称,对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和角相等.
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【题目】请把下列各数填入相应的集合中
,5.2,0,,-6,,0.232323…,,2005,-0.313113111,,1.123456…
正数集合: { _______________ …};
非正有理数集合:{ ______________ …};
无理数集合: { _____________ …}.
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【题目】在矩形ABCO中,O为坐标原点,A在y轴上,C在x轴上,B的坐标为(8,6),P是线段BC上动点,点D是直线y=2x﹣6上第一象限的点,若△APD是等腰Rt△,则点D的坐标为 .
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【题目】如图所示,E是△ABC中AB边上的一点,AD是△ABC的高,已知AD=10,CE=9,AB=12,∠B=65°,∠BCE=25°,求BC的长.
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【题目】小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块,如图①②③,他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃,你认为应带( )
A. ① B. ② C. ③ D. ①和②
【答案】C
【解析】试题分析:根据全等三角形的判定方法带③去可以利用“角边角”得到全等的三角形.
故选C.
考点:全等三角形的应用.
【题型】单选题
【结束】
12
【题目】如图,要测量池塘的宽度AB,在池塘外选取一点P,连接AP、BP并各自延长,使PC=PA,PD=PB,连接CD,测得CD长为25m,则池塘宽AB为________m,依据是________
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D、E
(1) 求证:CD=BE
(2) 若AD=3.5 cm,DE=2.7 cm,求BE的长
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【题目】甲乙两名运动员进行射击选拨赛,每人射击10次,其中射击中靶情况如下表:
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | 第六次 | 第七次 | 第八次 | 第九次 | 第十次 | |
甲 | 7 | 10 | 8 | 10 | 9 | 9 | 10 | 8 | 10 | 9 |
乙 | 10 | 7 | 10 | 9 | 9 | 10 | 8 | 10 | 7 | 10 |
(1)选手甲的成绩的中位数是__________分;选手乙的成绩的众数是__________分;
(2)计算选手甲的平均成绩和方差;
(2)已知选手乙的成绩的方差是1.4,则成绩较稳定的是哪位选手?(直按写出结果)
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