Question

10．如图为抛物线y₁=x²-3，且抛物线y₂是由抛物线y₁向右平移2个单位得到的．
（1）写出抛物线y₂的函数表达式，并在直角坐标系中画出抛物线y₂．
（2）过点（0，a-3）（a为实数）作x轴的平行线，与抛物线y₁，y₂共有4个不同的交点，设这4个交点的横坐标分别是x₁，x₂，x₃，x₄．
①求a的取值范围；
②若x₁＜x₂＜x₃＜x₄，试求x₄-x₃+x₂-x₁的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线平移的规律即可得到结论；
（2）根据函数解析式图象可知，若过点（0，a-3）（a为实数）作x轴的平行线，与函数y₁、y₂的图象共有4个不同的交点时，则a-3＞-3且a≠1，再分别求出y₁、y₂分别等于a-3时x的值，分0＜a＜1和a＞1时x₁、x₂、x₃、x₄的值，从而代入x₄-x₃+x₂-x₁可知最值情况，

解答 解：（1）∵抛物线y₂是由抛物线y₁向右平移2个单位得到的，
∴y₂═（x-2）²-3，
如图1所示；
（2）①∵y₁=x²-3，y₂=（x-2）²-3，
结合图象，由题意，知：a-3＞-2，
∴a＞1，
∴a的取值范围为：a＞0且a≠1；
②令y₁=a-3，则x²-3=a-3 解得x=±$\sqrt{a}$，
令y₂=a-3，则（x-2）²-3=a-3，解得x=2±$\sqrt{a}$，
因为x₁＜x₂＜x₃＜x₄，显然x₁=-$\sqrt{a}$，x₄=2+$\sqrt{a}$，
∵a≠1，则a的取值范围是a＞0且a≠1，
当0＜a＜1时，$\sqrt{a}$＜2-$\sqrt{a}$，∴x₂=$\sqrt{a}$，x₃=2-$\sqrt{a}$，
∴x₄-x₃+x₂-x₁=4$\sqrt{a}$＜4，
当a＞1时，$\sqrt{a}$＞2-$\sqrt{a}$，
∴x₃=$\sqrt{a}$，x₂=2-$\sqrt{a}$，
∴x₄-x₃+x₂-x₁=4，
综上所述，x₄-x₃+x₂-x₁的最大值为4．

点评 本题考查函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，一元二次方程的解法和数形结合的思想，综合程度较高，需要学生利用数形结合的思想解决问题．