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精英家教网如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线BC的函数解析式;
(3)在抛物线上,是否存在一点P,使△PAB的面积等于△ABC的面积?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,代入三点即求得方程式;
(2)设直线BC的函数解析式为y=kx+b,代入BC两点而求得;
(3)由△ABC的底边AB上的高为3,设△PAB的高为h,则|h|=3,则点P的纵坐标为3或-3,分两种情况求得.
解答:解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
∵抛物线与y轴交于点C的坐标(0,3),
∴y=ax2+bx+3,
又∵抛物线与x轴交于点A(-1,0)、B(4,0),
0=a-b+3
0=16a+4b+3
解得
a=-
3
4
b=
9
4

∴抛物线的解析式为y=-
3
4
x2+
9
4
x+3


(2)设直线BC的函数解析式为y=kx+b,
0=4k+b
3=b

解得
k=-
3
4
b=3

所以直线BC的函数解析式为y=-
3
4
x+3;

(3)存在一点P,使△PAB的面积等于△ABC的面积,
∵△ABC的底边AB上的高为3,
设△PAB的高为h,则|h|=3,则点P的纵坐标为3或-3,
当-
3
4
x2+
9
4
x+3=3时,得x1=0,x2=3

∴点P的坐标为(0,3),(3,3),而点(0,3)与C点重合,故舍去.当-
3
4
x2+
9
4
x+3=-3时,得x1=
3+
41
2
x2=
3-
41
2

∴点P的坐标为(
3+
41
2
,-3)
(
3-
41
2
,-3)

∴点P的坐标为:P1(3,3),P2(
3+
41
2
,-3)
,P3(
3-
41
2
,-3)
点评:本题考查了二次函数的综合运用,包括了三点确定二次函数式,两点确定一次函数解析式,一次函数与二次函数结合的综合考查,第三问问的很好.
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