Question

在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（10，0），（2，4）．
（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的解析式；
（2）若P为抛物线上异于C的点，且△OAP是直角三角形，请直接写出点P的坐标；
（3）若抛物线顶点为D，对称轴交x轴于点M，探究：抛物线对称轴上是否存在异于D的点Q，使△AQD是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可据此求出点C的坐标；然后用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据O、A、C的坐标可知：△OAC是直角三角形，且∠OCA=90°，根据抛物线的对称性知C点关于抛物线对称轴的对称点也一定符合条件，可由此写出P点的坐标；
（3）根据抛物线的解析式可求出抛物线的顶点坐标和对称轴方程，即可确定D点的坐标和Q点的横坐标；设出Q点纵坐标，然后分别表示出AD、QD、QA的长；根据①QD=DA，②QD=QA，③AD=AQ；三种不同情况所得到的等量关系来求出Q点的坐标．
解答：解：（1）∵B（2，4），
∴C（2，-4）；
设过O、C、A三点的抛物线解析式为y=ax（x-10）
将C（2，-4）代入，
得a=；
所以，抛物线解析式为y=-；

（2）存在．P（8，-4）

（3）存在点Q使得△DQA为等腰三角形
由（1）抛物线解析式为y=-
可求得顶点D的坐标（5，-）
则|AD|=，若|QA|=|DA|
则由对称性知满足条件的Q点的坐标为（5，），记为Q：（5，）
若|QD|=|DA|
则结合图形，可求得满足条件的Q点坐标为（5，），（5，）
记为Q₂（5，），Q₃（5，）；
若|QD|=|QA|
则设Q（5，y），由
解得y=，
所以满足条件的Q点坐标为（5，），记为Q₄（5，）（12分）
所以，满足条件的点Q有Q₁（5，），Q₂（5，），Q₃（5，-），Q₄（5，-）四个点．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、抛物线的对称性、等腰三角形的判定等重要知识点，在等腰三角形腰和底不确定的情况下，一定要分类讨论，以免漏解．