Question

8．如图，正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD的上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，则PA+PE+PF的最小值是4+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由正方形的性质得出∠ABC=∠C=90°，∠PBE=45°，BD=4$\sqrt{2}$，再证出四边形PECF是矩形，得出PF=EC，证出△BPE是等腰直角三角形，得出PE=BE，得出PE+PF=BC=4，当AP⊥BD时，AP最小，此时P为BD的中点，PA=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{2}$，即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠C=90°，∠PBE=45°，BC=CD=4，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEB=∠PEC=∠PFC=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴PF=EC，△BPE是等腰直角三角形，
∴PE=BE，
∴PE+PF=BE+EC=BC=4，
当AP⊥BD时，AP最小，
此时P为BD的中点，PA=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{2}$，
∴PA+PE+PF的最小值是 4+2$\sqrt{2}$；
故答案为：4+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．