Question

如图，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外接圆的半径为r．
（1）若∠E=30°，求证：BC•BD=r•ED；
（2）若BD=3，DE=4，求AE的长．

Answer 1

分析：（1）取AB中点O，由题意得△ABC是Rt△，O是外接圆心，连接CO，可证得OC∥DB，则

OC

BD

=

CE

DE

，即OC•DE=CE•BD；作CF⊥BE，然后证得∠CBE=∠E=30°，根据等角对等边的性质可得CE=BC，则可得BC•BD=r•ED；
（2）根据勾股定理求出BE，设CE=x，则BC=x，在Rt△BCD中，根据勾股定理求出x，再推得CE为圆的切线，利用切割线定理求出AE的值．

解答：（1）证明：取AB中点O，△ABC是Rt△，AB是斜边，O是外接圆心，连接CO，
∴BO=CO，∠BCO=∠OBC，
∵BC是∠DBE平分线，
∴∠DBC=∠CBA，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC∥DB，（内错角相等，两直线平行），
∴

OC

BD

=

CE

DE

，把比例式化为乘积式得BD•CE=DE•OC，
∵OC=r，
∴BD•CE=DE•r．
∵∠D=90°，∠E=30°，
∴∠DBE=60°，
∴∠CBE=

1

2

∠DBE=30°，
∴∠CBE=∠E，
∴CE=BC，
∴BC•BD=r•ED．

（2）解：BD=3，DE=4，根据勾股定理，BE=5，
设圆的半径长是r，则OC=OA=r，
∵OC∥DB，
∴△OCE∽BDE，
∴

OC

BD

=

OE

BE

=

CE

DE

，即

r

3

=

OE

5

=

CE

4

解得：OE=

5

3

r，CE=

4

3

r．
CH=

OC•CE

OE

=

4

5

r，
∵BC平分∠DBE交DE于点C，则△BDC≌△BHC，
∴BH=BD=3，
则HE=2．
∴CD=CH=

4

5

r．
在直角△CHE中，根据勾股定理得：CH²+EH²=CE²，
即（

4

5

r）2+2²=（

4

3

r）²，解得：r=

15

8

，
则AE=BE-2r=5-

15

4

=

5

4

．

点评：本题考查的是切割线定理，切线的性质定理，勾股定理．