Question

【题目】如图，是的直径，点是延长线上一点，过点作的切线，切点是，过点作弦于，连接，．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）第一问考查切线的证明，总体思路为“连半径，证垂直”，根据题目已知PC是圆的切线，连接OD后，可根据利用垂径定理，结合角的互换或者证明△PCO与△PDO全等，进一步证明垂直即可解答。

（2）第二问根据AB是直径，可据此可知考查圆周角定理的运用，同时在直角三角形中要结合正切三角函数具体特点进行边的互换，具体可做辅助线结合勾股定理解答。

解（1）证明：连接，

∵是的切线，

∴，即，

∵∴

∴

∴

∵∴，

∴，

∴是的切线．

（2）如图2，连接，

∵是的直径，∴，

∴

设，，则由勾股定理得：，解得：，

，，

∵，即，

∴

∵

在中，，

∵

∴，即，

∴

∴