Question

17．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C，且OA=OC，则下列结论：①abc＜0；②$\frac{{b}^{2}-4ac}{4a}$＞0；③ac-b+1=0；④OA•OB=-$\frac{c}{a}$．其中正确结论的个数是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；
根据抛物线与x轴的交点个数得到b²-4ac＞0，加上a＜0，则可对②进行判断；
利用OA=OC可得到A（-c，0），再把A（-c，0）代入y=ax²+bx+c得ac²-bc+c=0，两边除以c则可对③进行判断；
设A（x₁，0），B（x₂，0），则OA=-x₁，OB=x₂，根据抛物线与x轴的交点问题得到x₁和x₂是方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，于是OA•OB=-$\frac{c}{a}$，则可对④进行判断．

解答 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b²-4ac＞0，
而a＜0，
∴$\frac{{b}^{2}-4ac}{4a}$＜0，所以②错误；
∵C（0，c），OA=OC，
∴A（-c，0），
把A（-c，0）代入y=ax²+bx+c得ac²-bc+c=0，
∴ac-b+1=0，所以③正确；
设A（x₁，0），B（x₂，0），
∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴x₁和x₂是方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，
∴x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，
∴OA•OB=-$\frac{c}{a}$，所以④正确．
故选：B．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点