Question

15．如图，有一块分别均匀的等腰三角形蛋糕（AB=AC且AB≠BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．
这条分割直线既平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条直线为三角形的“等分积周线”．
（1）小明很快就想到了一条经过点A分割直线，请你用尺规作图在图1中画出这条“等分积周线（不写画法）．
（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图2中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗？请说明理由．
（3）若AB=BC=5，BC=6，请你通过计算，在图3中找出△ABC不经过顶点的一条“等分积周线”．

Answer 1

分析 （1）作线段BC的中垂线即可．
（2）小华不会成功．如图2所示．假设直线CD平分△ABC的面积，过点C作CE⊥AB于点E，再证明AD+AC≠BD+BC即可．
（3）如图3所示，设直线EF与AB、BC分别交于点E、F，直线EF符合条件，作EG⊥BC于点G，AH⊥BC于点H，得BH=CH=3，AH=4，S_△ABC=12，设BF=x，则BE=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）-BF=8-x，由△BEG∽△BAH，得$\frac{EG}{AH}$=$\frac{BE}{AB}$，求出EG，利用面积列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）作线段BC的中垂线AM，如图1所示．

∵AM是BC的中垂线，
∴BM=CM，
∴S_△ABM=S_△ACM，
∵AB=AC，
∴AB+BM=AC+CM．
∴直线AM是△ABC的等分积周线．

（2）小华不会成功．

若直线CD平分△ABC的面积，过点C作CE⊥AB于点E，如图2所示．
由S_△ACD=S_△BCD，得$\frac{1}{2}$•AD•CE=$\frac{1}{2}$•BD•CE，于是BD=AD．
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC，
所以小华不会成功．                      

（3）设直线EF与AB、BC分别交于点E、F，直线EF符合条件，如图3所示．

作EG⊥BC于点G，AH⊥BC于点H，得BH=CH=3，AH=4，S_△ABC=12．
  设BF=x，则BE=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）-BF=8-x．
∵EG∥AH，
∴△BEG∽△BAH，
∴$\frac{EG}{AH}$=$\frac{BE}{AB}$，
∴$\frac{EG}{4}$=$\frac{8-x}{5}$，于是EG=$\frac{4}{5}$（8-x） 
∵S_△EBF=$\frac{1}{2}$•S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$•x•$\frac{4}{5}$（8-x）=6
解得 x=3（舍去，因此时EF过点A）或x=5
∴BF=5，BE=3．
∴直线EF符合条件．

点评 本题看成三角形综合题、尺规作图、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，学会添加常用辅助线构造相似三角形，属于中考压轴题．