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16.如图,PA为⊙O的切线,A为切点.过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E.
(1)求证:PB为⊙O的切线;
(2)若OC=1,AB=2$\sqrt{3}$,求图中阴影部分的面积S;
(3)若$\frac{OC}{OP}$=$\frac{1}{4}$,求sinE的值.

分析 (1)连接OA,证明△PBO≌△PAO,则∠PBO=∠PAO=90°,于是证明PB为⊙O的切线;
(2)由S阴影=S△OAE-S扇形OAD,分别求出S△OAE、S扇形OAD即可;
(3)连接AD,由△ADE∽△POE,求出$\frac{EA}{EP}=\frac{AD}{OP}$,由$\frac{OC}{OP}$=$\frac{1}{4}$,得到EP=2PA,因为PA=PB,所以EP=2PB,进而求出sinE.

解答 解:(1)连接OA,
∵PA为⊙O的切线,
∴∠PAO=90°,
∵OA=OB,OP⊥AB于C,
∴BC=CA,PB=PA,
∴△PBO≌△PAO,
∴∠PBO=∠PAO=90°,
∴PB为⊙O的切线.
(2)∵OP⊥AB,
∴BC=AC=$\sqrt{3}$,
在Rt△OBC中,由tan∠BOC=$\sqrt{3}$知,∠BOC=60°,
则∠BOA=120°,OB=2,
∴Rt△OAE中,∠AOE=60°,OA=2
∴AE=2$\sqrt{3}$
S阴影=S△OAE-S扇形OAD=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{60}{360}$×π×22=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π
(3)连接AD,
∵BD是直径,∠BAD=90°,
由(1)知∠BCO=90°,
∴AD∥OP,
∴△ADE∽△POE,
∴$\frac{EA}{EP}=\frac{AD}{OP}$,
∵AD∥OC,
∴AD=2OC,
∵$\frac{OC}{OP}$=$\frac{1}{4}$,
∴OP=4OC,
设OC=t,则AD=2t,OP=4t
∴$\frac{EA}{EP}$=$\frac{AD}{OP}$=$\frac{1}{2}$,
∴EA=AP,
∴EP=2PA,
∵PA=PB,
∴EP=2PB,
∴sinE=$\frac{PB}{EP}$=$\frac{1}{2}$.

点评 本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质;能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中,是解答此题的关键要证某线是圆的切线,对于切线的判定:已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.

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