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11.已知△ABC是等边三角形,四边形ADEF是菱形,∠ADE=120°(AD>AB).
(1)如图1,当AD与边BC相交,点D与点F在直线AC的两侧时,BD与CF的数量关系为相等;
(2)将图1中的菱形ADEF绕点A旋转α(0°<α<180°),如图2;
①判断(1)中的结论是否仍然成立,请利用图2证明你的结论;
②若AC=4,AD=6,直接写出CE的最小值.

分析 (1)根据等式的性质得出∠BAD=∠CAF,利用SAS证明△ABD与△ACF全等,再利用全等三角形的性质得出即可;
(2)①根据等式的性质得出∠BAD=∠CAF,利用SAS证明△ABD与△ACF全等,再利用全等三角形的性质得出即可;
②当A、C、D三线合一时,得出CD=6-4=2,进而解答即可.

解答 解:(1)相等,理由如下:
∵△ABC是等边三角形,四边形ADEF是菱形,∠ADE=120°,
∴AB=AC=BC,AD=AF,∠BAC=60°,∠DAF=60°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAF,
在△ABD与△ACF中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$,
∴△ABD≌△ACF(SAS),
∴BD=CF,
故答案为:相等;
(2)①∵△ABC是等边三角形,四边形ADEF是菱形,∠ADE=120°,
∴AB=AC=BC,AD=AF,∠BAC=60°,∠DAF=60°,
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC,
∴∠BAD=∠CAF,
在△ABD与△ACF中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$,
∴△ABD≌△ACF(SAS),
∴BD=CF;
②当A、C、D三线合一时,
∵AC=4,AD=6,
∴DC=6-4=2,
此时CE的最小值是=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}-2×2×6×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$2\sqrt{10-3\sqrt{3}}$.

点评 本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,根据点D的位置的变化,△ABD和△ACF始终全等是解题的关键.

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