如图,第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A,作直径AD,过点D作⊙C的切线l交x轴于点B,P为直线l上一动点,已知直线PA的解析式为:y=kx+3。
(1) 设点P的纵坐标为p,写出p随变化的函数关系式。
(2)设⊙C与PA交于点M,与AB交于点N,则不论动点P处于直线l上(除点B以外)的什么位置时,都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明;
(3)是否存在使△AMN的面积等于的k值?若存在,请求出符合的k值;若不存在,请说明理由。
解:(1)、
∵y轴和直线l都是⊙C的切线
∴OA⊥AD BD⊥AD
又∵ OA⊥OB
∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°
∴四边形OADB是矩形
∵⊙C的半径为2
∴AD=OB=4
∵点P在直线l上
∴点P的坐标为(4,p)
又∵点P也在直线AP上
∴p=4k+3
(2)连接DN
∵AD是⊙C的直径 ∴ ∠AND=90°
∵ ∠AND=90°-∠DAN,∠ABD=90°-∠DAN
∴∠AND=∠ABD
又∵∠ADN=∠AMN ∴∠ABD=∠AMN
∵∠MAN=∠BAP
∴△AMN∽△ABP
(3)存在。
理由:把x=0代入y=kx+3得y=3,即OA=BD=3
AB=
∵ S△ABD= AB·DN=AD·DB
∴DN==
∴AN2=AD2-DN2=
∵△AMN∽△ABP
∴ 即
当点P在B点上方时,
∵AP2=AD2+PD2 = AD2+(PB-BD)2 =42+(4k+3-3)2 =16(k2+1)
或AP2=AD2+PD2 = AD2+(BD-PB)2 =42+(3-4k-3)2 =16(k2+1)
S△ABP= PB·AD=(4k+3)×4=2(4k+3)
∴
整理得k2-4k-2=0 解得k1 =2+ k2=2-
当点P在B 点下方时,
∵AP2=AD2+PD2 =42+(3-4k-3)2 =16(k2+1)
S△ABP= PB·AD=[-(4k+3)]×4=-2(4k+3)
∴
化简,得k2+1=-(4k+3) 解得k=-2
综合以上所得,当k=2±或k=-2时,△AMN的面积等于
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科目:初中数学 来源:2013年四川省成都市中考数学模拟试卷(二)(解析版) 题型:填空题
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科目:初中数学 来源:2012届江苏省苏州市初三上学期期中考试数学卷 题型:解答题
(本题满分9分)如图,第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A,作直径AD,过点D作⊙C的切线l交x轴子点B,P为直线l上一动点,已知直线PA的解析式为:y=kx+3。
(1)设点P的纵坐标为p,写出p随k变化的函数关系式。
(2)设⊙C与PA交于点M,与AB交于点N,则不论动点P处于直线l上(除点B以外)的什么位置时,都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明;
(3)是否存在使△AMN的面积等于的k值?若存在,请求出符合的k值;若不存在,请说明理由。
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