Question

某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件，可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元，在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件，且生产乙种零件的个数不超过甲种零件个数的一半．
（1）请写出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系式；
（2）求自变量x的取值范围；
（3）怎样安排生产每天获得的利润最大，最大利润是多少？

Answer 1

解：（1）此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系式是
y=6x•150+5（20-x）•260=26000-400x．

（2）由
解得12.5≤x≤20
因为x为整数，所以x=13，14，…，20

（3）∵y随x的增大而减小，
∴当x=13时，y_最大=26000-400×13=20800．
即安排13人生产甲种零件，安排7人生产乙种零件，所获利润最大，最大利润为20800元．
分析：（1）整个车间所获利润=甲种零件所获总利润+乙种零件所获总利润；
（2）根据零件零件个数均为非负整数以及乙种零件的个数不超过甲种零件个数的一半可得自变量的取值范围；
（3）根据（1）得到的函数关系式可得当x取最小整数值时所获利润最大．
点评：考查一次函数的应用；得到所获利润的关系式以及自变量的取值是解决本题的关键和难点．