Question

4．当a＞1时，化简$\frac{a+1+\sqrt{{a}^{2}-1}}{a+1-\sqrt{{a}^{2}-1}}$+$\frac{a+1-\sqrt{{a}^{2}-1}}{a+1+\sqrt{{a}^{2}-1}}$．

Answer 1

分析 分子、分母先进行因式分解化简，然后通分利用乘法公式化简．

解答 解：∵a＞1
∴原式=$\frac{（\sqrt{a+1}）^{2}+\sqrt{（a+1）（a-1）}}{（\sqrt{a+1}）^{2}-\sqrt{（a+1）（a-1）}}$+$\frac{（\sqrt{a+1}）^{2}-\sqrt{（a+1）（a-1）}}{（\sqrt{a+1}）^{2}+\sqrt{（a+1）（a-1）}}$
=$\frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}}$+$\frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}$
=$\frac{（\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}）^{2}+（\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}）^{2}}{（a+1）-（a-1）}$
=$\frac{4a}{2}$
=2a．

点评 本题考查二次根式的化简、乘法公式等知识，灵活运用公式化简是解题的关键．