Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴、y轴的交点分别为A、B，直线y＝﹣2x+12交x轴于C，两条直线的交点为D；点P是线段DC上的一个动点，过点P作PE⊥x轴，交x轴于点E，连接BP；

（1）求△DAC的面积；

（2）在线段DC上是否存在一点P，使四边形BOEP为矩形；若存在，写出P点坐标；若不存在，说明理由；

（3）若四边形BOEP的面积为S，设P点的坐标为（x，y），求出S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）S△DAC＝20；（2）存在， 点P的坐标是（5，2）；（3）S＝﹣x2+7x（4≤x＜6）．

【解析】

（1）想办法求出A、D、C三点坐标即可解决问题；

（2）存在．根据OB＝PE＝2，利用待定系数法即可解决问题；

（3）利用梯形的面积公式计算即可；

（1）当y＝0时， x+2=0，

∴x＝﹣4，点A坐标为（﹣4，0）

当y＝0时，﹣2x+12＝0，

∴x＝6，点C坐标为（6，0）

由题意，解得，

∴点D坐标为（4，4）

∴S△DAC＝×10×4＝20．

（2）存在，∵四边形BOEP为矩形，

∴BO＝PE

当x＝0时，y＝2，点B坐标为（0，2），

把y＝2代入y＝﹣2x+12得到x＝5，

点P的坐标是（5，2）．

（3）∵S＝（OB+PE）OE

∴S＝（2﹣2x+12）x＝﹣x2+7x（4≤x＜6）．