Question

20．如图，抛物线y₁=-$\frac{3}{4}$x²-3x的顶点为A，直线y=ax+b经过点A，交x轴的正半轴于点B，将抛物线y₁=-$\frac{3}{4}$x²-3x向右平移，顶点落在y轴上的点C时，得到抛物线y₂刚好经过点B．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求直线AB的解析式，并判断直线AB、抛物线y₁与抛物线y₂是否经过同一个点，若是，请直接写出这个点的坐标．

Answer 1

分析 （1）将抛物线解析式变形为顶点式即可得出点A的坐标，再令y₁=-$\frac{3}{4}$x²-3x=0可求出抛物线与x轴的交点坐标，根据平移的性质可得出点C、点B的坐标；
（2）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，联立两抛物线解析式成方程组，解方程组可求出两抛物线的交点坐标，再将其横坐标代入直线AB的解析式中求出y值，对比后即可得知直线AB、抛物线y₁与抛物线y₂经过该点，此题得解．

解答 解：（1）∵y₁=-$\frac{3}{4}$x²-3x=-$\frac{3}{4}$（x²+4x）=-$\frac{3}{4}$（x+2）²+3，
∴点A的坐标为（-2，3），
∵当y₁=-$\frac{3}{4}$x²-3x=-$\frac{3}{4}$x（x+4）=0时，x₁=-4，x₂=0，
∴抛物线y₁=-$\frac{3}{4}$x²-3x与x轴的交点坐标为（-4，0）、（0，0）．
又∵将抛物线y₁=-$\frac{3}{4}$x²-3x向右平移，顶点落在y轴上的点C时，得到抛物线y₂刚好经过点B，
∴点C的坐标为（0，3），点B的坐标为（2，0），抛物线y₂=-$\frac{3}{4}$x²+3．

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A（-2，3）、B（2，0）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=3}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$．
联立两抛物线解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}{x}^{2}-3x}\\{y=-\frac{3}{4}{x}^{2}+3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴两抛物线的交点坐标为（-1，$\frac{9}{4}$）．
当x=-1时，y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{4}$，
∴直线AB过点（-1，$\frac{9}{4}$），
∴直线AB、抛物线y₁与抛物线y₂经过同一个点，该点坐标为（-1，$\frac{9}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的三种形式、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）根据平移的性质找出平移后的抛物线解析式以及点B的坐标；（2）根据点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式．