Question

9．观察下列各式：①$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=2$\sqrt{\frac{1}{3}}$，②$\sqrt{2+\frac{1}{4}}$=3$\sqrt{\frac{1}{4}}$；③$\sqrt{3+\frac{1}{5}}$=4$\sqrt{\frac{1}{5}}$，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式：$\sqrt{4+\frac{1}{6}}$=5$\sqrt{\frac{1}{6}}$；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$=（n+1）$\sqrt{\frac{1}{n+2}}$；
（3）请证明（2）中的结论．

Answer 1

分析 （1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；
（2）根据规律写出含n的式子即可；
（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可．

解答 解：（1）$\sqrt{4+\frac{1}{6}}$=5$\sqrt{\frac{1}{6}}$；
（2）$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$=（n+1）$\sqrt{\frac{1}{n+2}}$；
（3）$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$
=$\sqrt{\frac{{n}^{2}+2n}{n+2}+\frac{1}{n+2}}$
=$\sqrt{\frac{{n}^{2}+2n+1}{n+2}}$
=$\sqrt{\frac{（n+1）^{2}}{n+2}}$
=（n+1）$\sqrt{\frac{1}{n+2}}$．
故答案为：（1）$\sqrt{4+\frac{1}{6}}$=5$\sqrt{\frac{1}{6}}$；
（2））$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$=（n+1）$\sqrt{\frac{1}{n+2}}$．

点评 本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律进行求解即可．