Question

如图，已知∠AOB=x（0°＜x＜180°），OC平分∠AOB，点N为OB上一个定点．通过画图可以知道：当∠AOB=45°时，在射线OC上存在点P，使△ONP成为等腰三角形，且符合条件的点有三个，即P₁（顶点为P₂），岛（顶点为0），P₃（顶点为N）．
试问：当∠AOB分别为锐角、直角、钝角时，在射线OC上使△ONP成为等腰三角形的点P是否仍然存在三个？请分别画出简图并加以说明．

Answer 1

解：当∠AOB为锐角时，这样的点有三个：，如图1：
当∠AOB=90°时，这样的点有三个，如图2：
当∠AOB为不等于120°的钝角时，这样的 点有三个，如图3：
当∠AOB为120°的钝角时，这样的点只有一个，如图4：
∵在射线OC上找一点P，使△ONP为等腰三角形，
∵∠PON=60°，此时△ONP必为等边三角形，
∴这样的点只有一个；
综合上述：当∠AOB≠120°时，这样的点都有三个；当∠AOB=120°时，这样的点只有一个．

分析：当∠AOB为锐角时，当∠AOB=90°，时，当∠AOB为不等于120°的钝角时，根据等腰三角形的判定，分为三种情况：ON=DN，OE=ON，ON=NF，画出即可；当∠AOB为120°的钝角时，这样的点只有一个．
点评：本题考查了作图，等腰三角形的判定的应用，主要考查了学生的作图能力，题目较好，但是一道比较容易出错的题目，注意要分类讨论啊．