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19.如图,对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$的抛物线经过B(2,0),C(0,4)两点,抛物线与x轴的另一交点为A.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点,设四边形COBP的面积为S,求S的最大值.

分析 (1)由对称轴的对称性得出点A的坐标,由待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形,表示出面积S,化简后是一个关于S的二次函数,求最值即可.

解答 解:(1)由对称性得:A(-1,0),
设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x-2),
把C(0,4)代入:4=-2a,
a=-2,
∴y=-2(x+1)(x-2),
∴抛物线的解析式为:y=-2x2+2x+4;
(2)如图1,设点P(m,-2m2+2m+4),过P作PD⊥x轴,垂足为D,
∴S=S梯形+S△PDB=$\frac{1}{2}$m(-2m2+2m+4+4)+$\frac{1}{2}$(-2m2+2m+4)(2-m),
S=-2m2+4m+4=-2(m-1)2+6,
∵-2<0,
∴S有最大值,则S=6.

点评 本题是二次函数的综合问题,综合性较强;考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式,并利用方程组求图象的交点坐标,将函数和方程有机地结合,进一步把函数简单化.

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