Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B，过点B作BC⊥y轴，BC与函数y=ax²+bx+c的图象交于点C（2，4）．
（1）设函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的另一个交点为D，求△BDA的面积．
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PA、PC，分别过A、C作PC、PA的平行线交于点Q，连接PQ．试探究：
①是否存在点P，使得PQ²=PA²+PC²？请说明理由．
②是否存在点P，使得PQ取得最小值？若存在，请求出这个最小值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出点B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答，然后令y=0，解关于x的一元二次方程求出点D的坐标，再求出AD的长，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）①先判断出四边形AQCP是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得PC=AQ，然后根据勾股定理逆定理判断出∠PAQ=90°，再求出∠APC=90°，然后求出△AOP和△PBC相似，设OP=x，表示出BP，然后根据相似三角形对应边成比例列式整理，再利用根的判别式解答；
②连接AC，与PQ相交于点E，先求出点E的坐标，再根据平行四边形的对角线互相平分可得PE=EQ，再根据垂线段最短可知PQ⊥y轴时PQ的值最小，然后写出点P的坐标即可．

解答：解：（1）∵BC⊥y轴，点C（2，4），
∴点B的坐标为（0，4），
又∵抛物线还经过点A（5，0），C（2，4），
∴

25a+5b+c=0 4a+2b+c=4 c=4

，
解得

a=- 4 15 b= 8 15 c=4

，
所以，抛物线的解析式为y=-

4

15

x²+

8

15

x+4，
令y=0，则-

4

15

x²+

8

15

x+4=0，
整理得，x²-2x-15=0，
解得x₁=-3，x₂=5，
所以，点D的坐标为（-3，0），
∴AD=5-（-3）=5+3=8，
△BDA的面积=

1

2

AD•OB=

1

2

×8×4=16；

（2）①∵PC∥AQ，CQ∥PA，
∴四边形AQCP是平行四边形，
∴PC=AQ，
∵PQ²=PA²+PC²，
∴PQ²=PA²+AQ²，
∴∠PAQ=90°，
∴∠APC=180°-∠PAQ=180°-90°=90°，
又∵∠PBC=∠AOP=90°，
∴∠APO+∠PAO=90°，∠APO+∠BPC=90°，
∴∠PAO=∠BPC，
∴△AOP∽△PBC，
∴

PO

BC

=

AO

BP

，
设OP=x，表示出BP=4-x，
∴

x

2

=

5

4-x

，
整理得，x²-4x+10=0，
∵△=b²-4ac=（-4）²-4×1×10=-24＜0，
∴该方程没有实数根，
∴不否存在点P，使得PQ²=PA²+PC²；

②如图，连接AC，与PQ相交于点E，
∵A（5，0），C（2，4），
∴点E的坐标为（

7

2

，2），
∵四边形AQCP是平行四边形，
∴PE=EQ，
由垂线段最短可知PQ⊥y轴时PE最小，
∴PQ的值最小，
此时，点P的纵坐标与点E的纵坐标相同，为2，
∴点P的坐标为（0，2），此时，PQ=7
故存在点P（0，2），使得PQ取得最小值7．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根的判别式的利用，垂线段最短，（2）②确定出PQ与y轴垂直时取值最小是解题的关键．