Question

求证：方程2x²+3（m-1）x+m²-4m-7=0对于任何实数m，永远有两个不相等的实数根．

Answer 1

解：△=9（m-1）²-4×2（m²-4m-7），
=m²+14m+65，
=（m+7）²+16．
∵对于任何实数m，（m+7）²≥0，
∴△＞0，即原方程有两个不相等的实数根．
所以方程2x²+3（m-1）x+m²-4m-7=0对于任何实数m，永远有两个不相等的实数根．
分析：先计算△=9（m-1）²-4×2（m²-4m-7）=m²+14m+65=（m+7）²+16，由（m+7）²≥0得到△＞0，即可证明原方程有两个不相等的实数根．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．