Question

18、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．试说明△ABP经过怎样变换可得到△CBQ．

Answer 1

分析：猜想AP=CQ，证明如下：在三角形ABP和三角形CBQ中，由三角形ABC为等边三角形得到AB=CB且∠ABC=∠PBQ=60°，两角都减去∠PBC，根据等式的性质得到∠ABP=∠CBQ，又BP=BQ，利用SAS即可得到两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等得证；由BC与BA为一对对应边，且夹角为60°，所以△ABP绕B顺时针旋转60°可得到△CBQ．

解答：解：猜想：AP=CQ
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CB，∠ABC=∠PBQ=60°，
∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ，
在△ABP与△CBQ中，
AB=CB，∠ABP=∠CBQ，BP=BQ，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP=CQ，
△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBQ．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及旋转的性质，熟练掌握判断与性质是解本题的关键．