Question

【题目】如图1，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上
（1）求证：AE2+AD2=2AC2；
（2）如图2，若AE=2，AC=2 ，点F是AD的中点，直接写出CF的长是 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结BD，如图所示：

∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，

∴∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，EC=DC，AC=BC，AC2+BC2=AB2，

∴2AC2=AB2．

∵∠ECD﹣ACD=∠ACB﹣∠ACD，

∴∠ACE=∠BCD．

在△AEC和△BDC中， ，

∴△AEC≌△BDC（SAS）．

∴AE=BD，∠E=∠BDC=45°，CE=CD，

∴∠BDA=∠BDC+∠ADC=90°，

在Rt△ADB中．∵AD2+BD2=AB2，

∴AD2+AE2=2AC2．

（2）2
【解析】（2）解：由（1）得：CE=CD，AE2+AD2=2AC2； ∴∠E=∠CDA，22+AD2=2×（2 ）2 ，
解得：AD=4，
∵点F是AD的中点，
∴AF=DF=2=AE，
∴EF=DA，
在△CEF和△CDA中， ，
∴△CEF≌△CDA（SAS），
∴CF=CA=2 ；
所以答案是：2 ．
【考点精析】通过灵活运用勾股定理的概念，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此题．