Question

13．边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？
（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质，可得OA=OC，∠AOC=∠DGE，根据余角的性质，可得∠OCD=∠GDE，根据全等三角形的判定与性质，可得EG=OD=1，DG=OC=2，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分类讨论：若△DFP∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠PDF=∠DCO，根据平行线的判定与性质，可得∠PDO=∠OCP=∠AOC=90，根据矩形的判定与性质，可得PC的长；若△PFD∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠DPF=∠DCO，$\frac{PD}{CD}$=$\frac{DF}{OD}$，根据等腰三角形的判定与性质，可得DF于CD的关系，根据相似三角形的相似比，可得PC的长；
（3）分类讨论：?MDNE，?MNDE，?NDME，根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边，可得答案．．

解答 解：（1）方法一：
过点E作EG⊥x轴于G点．
∵四边形OABC是边长为2的正方形，D是OA的中点，
∴OA=OC=2，OD=1，∠AOC=∠DGE=90°．
∵∠CDE=90°，
∴∠ODC+∠GDE=90°．
∵∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠GDE．
在△OCD和△GED中$\left\{\begin{array}{l}{∠COD=∠DGE}\\{∠OCD=∠GDE}\\{DC=DE}\end{array}\right.$，
∴△ODC≌△GED   （AAS），
∴EG=OD=1，DG=OC=2．
∴点E的坐标为（3，1）．
∵抛物线的对称轴为直线AB即直线x=2，
∴可设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+k，
将C、E点的坐标代入解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a+k=2}\\{a+k=1}\end{array}\right.$．
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{k=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=$\frac{1}{3}$（x-2）²+$\frac{2}{3}$；

方法二：
过点E作EG⊥x轴于G点．
DE⊥DC⇒∠CDO+∠EDH=90°，
EG⊥x轴⇒∠DEH+∠EDH=90°，
∴∠CDO=∠DEH，DC=DE，
∴△ODC≌△GED⇒DG=OC=2，EG=OD=1，
∴E（3，1），
∴9a+3b+2=0，
∵-$\frac{b}{2a}$=2，
抛物线的解析式为y=$\frac{1}{3}$（x-2）²+$\frac{2}{3}$；

（2）方法一：
①若△DFP∽△COD，则∠PDF=∠DCO，
∴PD∥OC，
∴∠PDO=∠OCP=∠AOC=90°，
∴四边形PDOC是矩形，
∴PC=OD=1，
∴t=1；
②若△PFD∽△COD，则∠DPF=∠DCO，$\frac{PD}{CD}$=$\frac{DF}{OD}$．
∴∠PCF=90°-∠DCO=90-∠DPF=∠PDF．
∴PC=PD，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD．
∵CD²=OD²+OC²=2²+1²=5，
∴CD=$\sqrt{5}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∵$\frac{PD}{CD}$=$\frac{DF}{OD}$，
∴PC=PD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$×$\sqrt{5}$=$\frac{5}{2}$，
t=$\frac{5}{2}$，
综上所述：t=1或t=$\frac{5}{2}$时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；
方法二：
过点F作x轴的垂线，分别交BC，OA于G，H，
PF⊥CD⇒∠PFG+∠DFH=90°，
GH⊥OA⇒∠FDH+∠DFH=90°，
∴∠PFG=∠FDH⇒△PFG∽△FDH⇒$\frac{PF}{DF}=\frac{PG}{FH}$，
∵PF⊥CD⇒K_PF×K_CD=-1，
∴l_CD：y=-2x+2，
∴F（m，-2m+2），P（t，2），
∴$-2×\frac{2m}{t-m}=-1$，
∴m=$\frac{t}{5}$，
∴F（$\frac{t}{5}$，-$\frac{2}{5}t+2$），
∴$\frac{PF}{DF}=\frac{PG}{FH}$=$\frac{t-\frac{t}{5}}{2-\frac{2}{5}t}=\frac{2t}{5-t}$，
∴以P，F，D为顶点的三角形与△COD相似，
①$\frac{PF}{DF}=\frac{OC}{OD}$，∴$\frac{2t}{5-t}=2$，∴t=$\frac{5}{2}$，
②$\frac{PF}{DF}=\frac{OD}{OC}$，∴$\frac{2t}{5-t}=\frac{1}{2}$，∴t=1，
综上所述：t=1或t=$\frac{5}{2}$时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；
方法三：
若以P，F，D为顶点的三角形与△COD相似，
则∠OCD=∠PDF或∠ODC=∠PDF，
①∠OCD=∠PDF⇒PD∥OC，∴CP=OD=1，∴t=1，
②∠ODC=∠PDF，作OO′⊥CD交CD于H，
∴K_OO′×K_CD=-1，
∴l_CD：y=-2x+2，
∴H（m，-2m+2），
∴-2×$\frac{-2m+2}{m}$=-1，
∴m=$\frac{4}{5}$，
∴H（$\frac{4}{5}$，$\frac{2}{5}$），
∵H为OO′中点，∴O′（$\frac{8}{5}$，$\frac{4}{5}$），
∴l_O′D：y=$\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}$，
令y=2，∴x=$\frac{5}{2}$，
即P（$\frac{5}{2}$，2），
∴t=$\frac{5}{2}$．

（3）存在，
四边形MDEN是平行四边形时，M₁（2，1），N₁（4，2）；
四边形MNDE是平行四边形时，M₂（2，3），N₂（0，2）；
四边形NDME是平行四边形时，M₃（2，$\frac{1}{3}$），N₃（2，$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考察了二次函数综合题，（1）利用了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式；（2）利用了相似三角形的性质，矩形的判定，分类讨论时解题关键；（3）利用了平行四边形的判定，分类讨论时解题关键．