Question

已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，对角线AC、BD交于M，AB=2，CD=4，∠CMD=90°，求：BD的长．

Answer 1

解：如图，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，
∴∠EBD=∠CMD=90°，
∵AB∥CD，
∴四边形ACEB是平行四边形，
∴AC=BE，CE=AB，
∵AB=2，CD=4，
∴DE=DC+CE=DC+AB=4+2=6，
∵梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，
∴AC=BD，
∴BD=BE，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，BD²+BE²=DE²，
即BD²+BD²=6²，
解得BD=3．
故答案为：3．
分析：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，根据∠CMD=90°求出△BDE是直角三角形，结合AB∥CD可以证明四边形ACEB是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得AC=BE，CE=AB，从而求出DE的长度，然后根据等腰梯形的对角线相等推出BD=BE，利用勾股定理列式计算即可求出BD的长．
点评：本题主要考查了等腰梯形的对角线相等的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，作出辅助线把对角线的垂直转化为直角三角形是解题的关键，也是解决等腰梯形问题常作的辅助线之一．