Question

如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AB=AC，AE⊥AC且AE=AD，连BE交AC于F．
（1）如图1，若CD=AD，试猜想BF与EF的数量关系；
（2）如图2，若CD≠AD，问题（1）BF与EF的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请说明理由；
（3）如图2，在第（2）问的条件下，取BC中点M，问线段MF与线段BD之间是否存在某种确定的数量关系？若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）可通过构建全等三角形来求得，作BG⊥AC于G，目的：证明△FBG≌△FEA来得出BF=EF，这两个三角形中已知的条件有：一组对顶角，一组直角，因此证得BG=AE也就是BG=AD是本题的关键．那么就要先证明三角形ACD和ABG全等，已知的条件有∠D=∠AGB=90°，∠DCA=∠BAG（CD∥AB，AB=AC），因此构成了两三角形全等的条件，两三角形就全等了．
（2）由于（1）中没有使用CD=AD的条件，所以此问的方法和（1）是完全一样的．
（3）连接CE后，我们发现，MF是三角形BCE的中位线，因此MF是CE的一半，如果能将BD和CE联系起来就能得出MF和BD的关系，可通过三角形全等来实现，三角形CAE和BAD中，已知的条件有：AD=AE，AC=AB，∠CAE=∠BAD=90°，因此两三角形就全等了，可以得出CE=BD，因此就能得出MF和BD的关系．

解答：解：（1）BF=EF．

（2）BF=EF仍成立，
过B点作BG⊥AC于G，
∵CD∥AB，∴∠DCA=∠BAC
∵∠BGA=∠ADC=90°，AB=AC
∴△ABG≌△CAD，
由此得BG=AD，又AD=AE，
∴BG=AE，
又∵∠BGA=∠EAG=90°，∠BFG=∠AFE
可得△FBG≌△FEA，
∴BF=EF．

（3）MF=

1

2

BD，连接CE，可知MF是△BCE的中位线，
∴MF=

1

2

CE
∵AD=AE，AC=AB，∠CAE=∠BAD=90°，
∴△CAE≌△BAD
∴CE=BD
∴MF=

1

2

CE=

1

2

BD．

点评：本题考查了中位线定理，全等三角形的判定等知识点，利用全等三角形得出角或线段相等是解题的关键．