Question

【题目】在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H

（感知）如图①，若四边形ABCD是正方形，且EF⊥GH，易知S△BOE=S△AOG，又因为S△AOB=S四边形ABCD，所以S四边形AEOG=S正方形ABCD（不要求证明）；

（拓展）如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG=S矩形ABCD，若AB=a，AD=b，BE=m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；

（探究）如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且S四边形AEOG=SABCD，若AB=3，AD=5，BE=1，则AG=______．

Answer 1

【答案】【拓展】AG=；【探究】

【解析】

拓展:如图②，作高线OM和ON，根据S△AOB=S矩形ABCD，可得S△AOB=S四边形AEOG，所以△BOE和△AOG的面积相等，根据面积公式列式可得AG的长；

探究:如图③，同理：过O作QM⊥AB，PN⊥AD，先根据平行四边形面积可得OM和ON的比，同理可得S△BOE=S△AOG，根据面积公式可计算AG的长．

拓展：如图②，过O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，

∵S△AOB=S矩形ABCD，

S四边形AEOG=，

∴S△AOB=S四边形AEOG，

∵S△BOE===mb，

S△AOG=AGON=AG=AGa，

∴mb=AGa，

∴AG=；

探究：

如图③，过O作QM⊥AB，PN⊥AD，

则MQ=2OM，PN=2ON，

∵SABCD=ABMQ=ADPN，

∴3×2OM=5×2ON，

∴=，

∵S△AOB=SABCD，

S四边形AEOG=SABCD，

∴S△AOB=S四边形AEOG，

∵S△BOE==×1×OM，

S△AOG=AGON，

∴×1×OM=AGON，

OM=AGON，

=AG=，

∴AG=；

故答案为：．