Question

对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x²+px＞4x+p-3恒成立，则实数x的取值范围是

x＞3或x＜-1

．

Answer 1

分析：令y=x²+px-（4x+p-3）=x²+px-3x-（x+p-3）=x（x+p-3）-（x+p-3）=（x-1）（x+p-3）＞0，进而可得其解，因为 0≤p≤4，可得-1≤3-p≤3，然后分类讨论即可得出x的取值范围．

解答：解：令y=x²+px-（4x+p-3）=x²+px-3x-（x+p-3）
=x（x+p-3）-（x+p-3）
=（x-1）（x+p-3）＞0
∴其解为 x＞1 且 x＞3-p①，或x＜1 且x＜3-p②，
因为 0≤p≤4，
∴-1≤3-p≤3，
在①中，要求x大于1和3-p中较大的数，而3-p最大值为3，故x＞3；
在②中，要求x小于1和3-p中较小的数，而3-p最小值为-1，故x＜-1；
故原不等式恒成立时，x的取值范围为：x＞3或x＜-1．
故答案为：x＞3或x＜-1．

点评：本题考查了函数恒成立问题及一元二次不等式的应用问题．此题难度适中，关键是用分类讨论的思想解题．