【题目】如图,D是△ABC边BC上的点,连接AD,∠BAD=∠CAD,BD=CD.
用两种不同方法证明AB=AC.
【答案】两种不同方法证明见解析.
【解析】
(1)过D作DE⊥AB,DF⊥AC,利用角平分线的性质得DE=DF,然后根据HL定理证Rt△BDE≌Rt△CDF,得∠B=∠C,根据“等角对等边”即可证明AB=AC;
(2)延长AD到E,使DE=AD得四边形ABEC是平行四边形,利用平行四边形的性质得AC=BE,AC∥BE,得∠BED=∠CAD进而有∠BED=∠BAD,所以 AB=BE,等量代换得到A B=AC .
证法1:如图,过D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,
∵ ∠BAD=∠CAD,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴ DE=DF,∠BED=90°,∠DFC=90°,
∵ BD=CD,
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF,
∴ ∠B=∠C,
∴ AB=AC.
证法2:如图,延长AD到E,使DE=AD.
∵ DE=AD,BD=CD,
∴ 四边形ABEC是平行四边形.
∴ AC=BE,AC∥BE.
∴ ∠BED=∠CAD.
又 ∠BAD=∠CAD,
∴ ∠BED=∠BAD.
∴ AB=BE.
∴ AB=AC.
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【题目】如图,Rt△ABC 中,∠BAC=90°,CE 平分∠ACB,点 D 在 CE的延长线上,连接 BD,过B作BF⊥BC交 CD 于点 F,连接 AF,若CF=2BD ,DE:CE=5:8 , BF ,则AF的长为_________.
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【题目】对于平面直角坐标系中的图形,,给出如下定义:为图形上任意一点,为图形上任意一点,如果线段的长度有最小值,那么称这个最小值为图形,的“近距”,记作;如果线段的长度有最大值,那么称这个最大值为图形,的“远距”,记作.
已知点,.
(1)(点,线段)______,(点,线段)______;
(2)一次函数的图象与轴交于点,与轴交于点,若(线段,线段),
①求的值;
②直接写出(线段,线段)______;
(3)的圆心为,半径为1.若(线段),请直接写出(,线段)的取值范围.
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【题目】如图1,直角三角形的直角顶点在矩形的对角线上(点不与点重合,可与点重合),满足,于点,已知,.
(1)若,则___________;
(2)当点在的平分线上时,求的长;
(3)当点的位置发生改变时:
①如图2,的外接圆是否与一直保持相切.说明理由;
②直接写出的外接圆与相切时的长.
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【题目】如图是一张直角三角形卡片,∠ACB=90°,AC=BC,点D、E分别在边AB、AC上,AD=2 cm,DB=4 cm,DE⊥AB.若将该卡片绕直线DE旋转一周,则形成的几何体的表面积为___cm2.
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【题目】为落实“垃圾分类”,环卫部门要求垃圾要按A,B,C三类分别装袋,投放,其中A类指废电池,过期药品等有毒垃圾,B类指剩余食品等厨余垃圾,C类指塑料,废纸等可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾,乙投放了两袋垃圾,这两袋垃圾不同类.
(1)直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率;
(2)求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率.
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【题目】某中学随机抽取200名学生寒假期间平均每天体育锻炼时间进行问卷调查,并将调查结果分为A、B、C、D四个等级.A:1小时以内;B:1小时~1.5小时;C:1.5小时~2小时;D:2小时以上;根据调查结果绘制了不完整的统计图(如图).若用扇形统计图来描述这200名学生寒假期间平均每天的体育锻炼情况,则C等级对应的扇形圆心角的度数为( )
A.36°B.60°C.72°D.108°
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【题目】如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于点E.在△ABC外有一点F,使FA⊥AE,FC⊥BC.
(1)求证:BE=CF;
(2)在AB上取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME.求证:①ME⊥BC;②DE=DN.
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【题目】某中学疫情期间为了切实抓好“停课不停学”活动,借助某软件平台随机抽取了该校部分学生的在线学习时间,并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
请你根据以上信息回答下列问题
(1)本次调查的人数为 , 学习时间为7小时的所对的圆心角为 ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)若全校共有学生1800人,估计有多少学生在线学习时间不低于8个小时.
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