Question

【题目】如图，D是△ABC边BC上的点，连接AD，∠BAD＝∠CAD，BD＝CD．

用两种不同方法证明AB＝AC．

Answer 1

【答案】两种不同方法证明见解析．

【解析】

（1）过D作DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线的性质得DE＝DF，然后根据HL定理证Rt△BDE≌Rt△CDF，得∠B=∠C，根据“等角对等边”即可证明AB=AC；

（2）延长AD到E，使DE＝AD得四边形ABEC是平行四边形，利用平行四边形的性质得AC＝BE，AC∥BE，得∠BED＝∠CAD进而有∠BED＝∠BAD，所以 AB＝BE，等量代换得到A B=AC ．

证法1：如图，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，

∵ ∠BAD＝∠CAD，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴ DE＝DF，∠BED＝90°，∠DFC＝90°，

∵ BD＝CD，

∴ Rt△BDE≌Rt△CDF，

∴ ∠B＝∠C，

∴ AB＝AC．

证法2：如图，延长AD到E，使DE＝AD．

∵ DE＝AD，BD＝CD，

∴ 四边形ABEC是平行四边形．

∴ AC＝BE，AC∥BE．

∴ ∠BED＝∠CAD．

又 ∠BAD＝∠CAD，

∴ ∠BED＝∠BAD．

∴ AB＝BE．

∴ AB＝AC．