Question

（据荆州资料第58页第2题改编）在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠B = 45⁰，AD = 2，BC = 6，以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴上。

（1）       求过A、D、C三点的抛物线的解析式。

（2）       求△ADC的外接圆的圆心M的坐标，并求⊙M的半径。

（3）       E为抛物线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当ED＋EC＋FD＋FC最小时，EF的长。

（4）       设Q为射线CB上任意一点，点P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、C为顶点的△与△ADC相似？若存在，直接写出点P、Q的坐标，若不存在，则说明理由。

Answer 1

解：（1）由题意知C（3, 0）、A（0, 3）。

过D作x轴垂线，由矩形性质得D（2, 3）。

由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为（－1，0）。

设抛物线的解析式为y=a（x＋1）（x－3）.

将（0， 3）代入得a = －1，所以y=－x²＋2x＋3.

（2）由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点。由等腰直角三角形性质得OM平分∠AOC,即y_OM = x，

∴ M（1,1）。连MC得MC = ，即半径为。

（3）由对称性可知：当ED＋EC＋FD＋FC最小时，E为对称轴与AC交点，F为BD与Y轴交点，易求F（0,9/5）、E（1,2）

∴EF = 。

（4）可得△ADC中，AD = 2，AC = ，DC = 。

假设存在，显然∠QCP<90⁰，∴∠QCP = 45⁰或∠QCP = ∠ACD 。

当∠QCP = 45⁰时，这时直线CP的解析式为y = x－3 或y = －x＋3.

当直线CP的解析式为y = x－3时，可求得P（－2，－5）,这时PC = 5.

设CQ = x，则，∴ x = 10/3或x = 15.

∴Q （－1/3,0）或（－12,0）。

当y = －x＋3即P与A重合时，可求得CQ = 2或9，∴ Q （1,0）或（－6,0）。

当∠QCP = ∠ACD时，设CP交y轴于H，连ED知ED⊥AC，

∴ DE = ，EC = 2，易证：△CDE∽△CHQ，

所以HQ/ = 3/ 2，∴ HQ = 3/2 。可求 HC的解析式为y = 1/2 x－3/2.

联解，得P（－3/2，－9/4），PC = 。

设CQ = x，知，

∴ x = 15/4或x = 27/4 ，∴ Q（－3/4,0）或（－15/4,0）。

同理当H在y轴正半轴上时，HC的解析式为y = -1/2 x+3/2.

∴ P’（－1/2,7/4），∴PC = 。

∴ ，

∴ CQ = 35/12或21/4， 所以Q（1/12,0）或（－9/4,0）。

综上所述，P₁（－2，－5）、Q₁（－1/3,0）或（－12,0）；

          P₂（0,3）、    Q₂（1，0）   或（－6,0）；

              P₃（－3/2，－9/4）、Q₃（－3/4，0）或（－15/4,0）；

              P₄（－1/2,7/4）、Q₄（1/12,0）或（－9/4,0）.