Question

如图1：等边△ADE可以看作由等边△ABC绕顶点A经过旋转相似变换得到．但是我们注意到图形中的△ABD和△ACE的关系，上述变换也可以理解为图形是由△ABD绕顶点A旋转60°形成的．于是我们得到一个结论：如果两个正三角形存在着公共顶点，则该图形可以看成是由一个三角形绕着该顶点旋转60°形成的．
①利用上述结论解决问题：如图2，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BFC都是等边三角形，求四边形ADFE的面积；
②图3中，△ABC∽△ADE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=θ，仿照上述结论，推广出符合图3的结论．（写出结论即可）

Answer 1

分析：①最外沿大五边形等于一个正三角形+2个直角三角形，故可求其面积；用大五边形面积减去3个三角形面积即可求得结果（三角形ABD、三角形ACE、三角形ABC）；
②结论应该是：如果两个等腰三角形有公共顶点，则该图形可以看成是一个三角形绕着该顶点旋转θ度形成的．

解答：解：①S_FDAE=S_DFECB-S_△ABD-S_△ABC-S_△ACE，
=S_△BCF+S_△BDF+S_△CEF-S_△ABD-S_△ABC-S_△ACE，
=

1

2

×

5 3

2

×5+

2×3×4

2

-

1

2

×

3 3

2

×3-

1

2

×2

3

×4-

1

2

×3×4，
=6；

②结论：如果两个等腰三角形有公共顶角顶点，顶角均为θ，
则该图形可以看成一个三角形绕着该顶点旋转θ形成的．

点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和三角形面积的计算，解题的关键是要把握图形的变换．