Question

25、如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC、AC上任意一点，
（1）求证：AD²+BE²=AB²+DE²；
（2）若BC、AC、AB三边长分别为a、b、c，且a、b、c均为整数，求证：a、b中必有一个是3的倍数．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理可得：AD²=AC²+CD²，BE²=CE²+BC²，CD²+CE²=DE²，AC²+BC²=AB²，即：AD²+BE²=AC²+BC²+CD²+CE²，将DE²，AB²等价替换其中相应的值即可．
（2）为了推出矛盾，我们应用同余的理论，为了证明a、b中必有一个是3的倍数，首先证明a、b、c中至少有一个是3的倍数，然后证明c不是3的倍数，从而得出a、b中至少有一个是3的倍数．

解答：证明：（1）∵∠C=90°，由勾股定理可得：
AD²=AC²+CD²，BE²=CE²+BC²，
又∵CD²+CE²=DE²，AC²+BC²=AB²，
∴AD²+BE²=AC²+BC²+CD²+CE²=AB²+DE²；
（2）根据题意有：a²+b²=c²，其中a、b、c均为整数．
（1）若a、b、c都不是3的倍数，则它们可表示为3n+1或3n-1的形式（n为正整数），
∵（3n±1）²=9n²±6n+1，
∴a²+b²≡2（mod 3），c²≡1（mod 3）．
故a²+b²≠c²．矛盾．
因此，a、b、c中至少有一个是3的倍数
（2）若c是3的倍数，且a、b都不是3的倍数，
则a²+b²≡2（mod 3），c²≡0（mod 3）．
故a²+b²≠c²，矛盾．
故c不是3的倍数．
∴a、b中必有一个是3的倍数．

点评：本题主要考查的是勾股定理的简单应用，关键在于找出直角三角形，利用勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方）求证．本题中的第二问用到了同余定理，难度较大．