Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A(1，0)、B(﹣3，0)两点，与y轴交于点C，设抛物线的顶点为D．

(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．

(2)试判断△BCD的形状，并说明理由．

(3)若点E在x轴上，点Q在抛物线上．是否存在以B、C、E、Q为顶点且以BC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

(4)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) 抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为(﹣1，4)；(2) △BCD是直角三角形，理由见解析；(3) Q点的坐标为(﹣2，3)或(﹣1，﹣3)或(﹣﹣1，﹣3)； (4) 符合条件的点P的坐标为：(0，0)或(0，﹣)或(﹣9，0)．

【解析】

（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；

（3）当B、C、E、Q为顶点的四边形是平行四边形，有两种情况：①当Q点的纵坐标为3时，②当点Q的纵坐标﹣3时，代入解析式即可求得；

（4）分P在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．

(1)抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A(1，0)、B(﹣3，0)两点，

∴，

解得a＝﹣1，b＝﹣2，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，

∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣(x+1)2+4，

∴顶点D的坐标为(﹣1，4)；

(2)△BCD是直角三角形．

理由如下：如图1，过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，

∵在Rt△BOC中，OB＝3，OC＝3，

∴BC2＝OB2+OC2＝18，

在Rt△CDF中，DF＝1，CF＝OF﹣OC＝4﹣3＝1，

∴CD2＝DF2+CF2＝2，

在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝OB﹣OE＝3﹣1＝2，

∴BD2＝DE2+BE2＝20，

∴BC2+CD2＝BD2

∴△BCD为直角三角形；

(3)①当Q点的纵坐标为3时，

∴把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3求得x＝0或﹣2，

∴Q1(﹣2，3)；

②当Q点的纵坐标为﹣3时，

把y＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+3求得x＝﹣1或﹣﹣1，

∴Q2(﹣1，﹣3)，Q3(﹣﹣1，﹣3)，

综上，Q点的坐标为(﹣2，3)或(﹣1，﹣3)或(﹣﹣1，﹣3)．

(4)由(2)知BC＝3，CD＝，BD＝2，

①∵，，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；

②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，

设P的坐标是(0，a)，则PC＝3﹣a，，即，

解得：a＝﹣9，

则P的坐标是(0，﹣9)，三角形ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CBD不成立；

③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，

设P的坐标是(0，b)，则PC＝3﹣b，则，即，

解得：b＝﹣，

故P是(0，﹣)时，则△ACP∽△CBD一定成立；

④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是(d，0)，

则AP＝1﹣d，当AC与CD是对应边时，，即，

解得：d＝1﹣3，此时，两个三角形不相似；

⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是(e，0)．

则AP＝1﹣e，当AC与DC是对应边时，，即，

解得：e＝﹣9，符合条件．

综上，符合条件的点P的坐标为：(0，0)或(0，﹣)或(﹣9，0)．