Question

15、如图，在图（1）中，A₁、B₁、C₁分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A₂、B₂、C₂分别是△A₁B₁C₁的边B₁C₁、C₁A₁、A₁B₁的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有

3n

个．

Answer 1

分析：根据平行四边形的判断定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．在图（1）中，有3个平行四边形；在图（2）中，有6个平行四边形；…按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个．

解答：解：在图（1）中，A₁、B₁、C₁分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A₁C₁∥AB₁A₁B₁∥BC₁A₁C₁∥B₁C
A₁C₁=AB₁A₁B₁=BC₁A₁C₁=B₁C，
∴四边形A₁B₁AC₁、A₁B₁C₁B、A₁C₁B₁C是平行四边形，共有3个．
在图（2）中，A₂、B₂、C₂分别是△A₁B₁C₁的边B₁C₁、C₁A₁、A₁B₁的中点，
同理可证：四边形A₁B₁AC₁、A₁B₁C₁B、A₁C₁B₁C、A₂B₂C₂B₁、A₂B₂A₁C₂、A₂C₂B₂C₁是平行四边形，共有6个．
…
按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个．

点评：本题考查了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．由特殊到一般，善于从中找出规律是关键．