Question

9．如图，矩形ABCD中，AD=3，AB=2，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DF的长是（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{5}{6}$
• C． 1
• D． $\frac{13}{6}$

Answer 1

分析 如图作EH⊥CF于H．首先证明四边形AECF是平行四边形，再证明△ABE≌△EHC，推出BE=CH，设DF=BE=x，在Rt△EHC中利用勾股定理即可解决问题．

解答 解：如图作EH⊥CF于H．

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∠AEB=∠ECH，
∴AF=CE，DF=BE，设DF=BE=x，
在△ABE和△EHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠ECH}\\{∠B=∠EHC}\\{AB=EH=2}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EHC，
∴BE=CH=x，
在Rt△EHC中，∵EH²+CH²=EC²，
∴2²+x²=（3-x）²，
∴x=$\frac{5}{6}$，即DF=$\frac{5}{6}$，
故选B．

点评 本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题学会利用勾股定理构建方程解决问题，属于中考常考题型．