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如图,已知O是平面直角坐标系的原点,半径为1的⊙B经过点O,且与x、y轴分别交于点A、C,点A的坐标为(-,0),AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D.
(1)求OC的长和∠CAO的度数;
(2)求点D的坐标;
(3)求点A,O,D三点的抛物线的解析式;
(4)在(3)中,点P是抛物线上的一点,试确定点P的位置,使得△AOP的面积与△AOC的面积相等.

【答案】分析:(1)根据圆B的半径可以求出AC的长,由点A的坐标可以求出OA的长,在Rt△AOC中由勾股定理可以求出OC的长,利用解直角三角形的特殊角的三角函数值就可以求出∠CAO的度数.
(2)连接OB,过点D作DE⊥AO于E,利用(1)的结论可以求出∠DOE=60°,∠ODE=30°,由勾股定理可以求出OE、DE的长从而求得点D的坐标.
(3)设抛物线的解析式为两根式的形式,运用待定系数法就可以求出抛物线的解析式.
(4)当存在点P时,根据底相等面积相等的两三角形高相等就可以求出点P的纵坐标,代入抛物线的解析式就可以求出点P的坐标.
解答:解:(1)∵∠COA=90°,
∴AC为直径.
∵⊙B的半径为1,
∴AC=2
∵A(-,0)
∴OA=
∴cos∠CAO=
∴∠CAO=30°
∴OC=AC
∴OC=1

(2)连接OB,作DE⊥AO于E,
∴∠DEO=90°
∵DO是⊙B的切线
∴DO⊥BO
∴∠BOD=90°
∵AB=BO
∴∠CAO=∠AOB=30°
∴∠OBD=60°
∴∠BDO=30°
∴BD=2BO=2
在Rt△BOD中由勾股定理,得
DO=
∵∠DOE=∠OAD+∠ADO=60°
∴∠ODE=30°
∴OE=OD=,在Rt△ODE中,由勾股定理,得
DE=
∴D(

(3)∵OC=1
∴C(0,1)
设抛物线的解析式为y=a(x+)(x-0),由题意,得
=a(+,解得
a=
∴y=(x+)x
y=x2+x

(4)设存在点P,使△AOP的面积与△AOC的面积相等,做PF⊥OA于F
∴这两个三角形OA边上的高也相等,即PF=OC=1
∴当y=1时,
1=x2+x
解得:x1=,x2=
∴P(,1)或(,1)
点评:本题是一道二次函数的综合试题,考查了勾股定理、特殊角的三角函数值、圆的切线的性质、直角三角形的性质、待定系数法求函数的解析式以及函数图象上点的存在问题.
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(1)求乒乓球飞行路线抛物线的解析式;
(2)如果竖直摆放5个圆柱形桶时,乒乓球能不能落入桶内?
(3)当竖直摆放圆柱形桶
8,9,10,11或12
8,9,10,11或12
个时,乒乓球可以落入桶内?(直接写出满足条件的一个答案)

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已知,如图1,在平面直角坐标系内,直线l1:y=-x+4与坐标轴分别相交于点A、B,与直线l2y=
13
x
相交于点C.
(1)求点C的坐标;
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已知,如图1,在平面直角坐标系内,直线l1:y=-x+4与坐标轴分别相交于点A、B,与直线l2数学公式相交于点C.
(1)求点C的坐标;
(2)如图1,平行于y轴的直线x=1交直线l1于点E,交直线l2于点D,平行于y轴的直x=a交直线l1于点M,交直线l2于点N,若MN=2ED,求a的值;
(3)如图2,点P是第四象限内一点,且∠BPO=135°,连接AP,探究AP与BP之间的位置关系,并证明你的结论.

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