Question

20．已知抛物线y=x²+mx+n，点M（1，-2）在抛物线上．
（1）求n与m之间的关系式；
（2）若n与m都是整数，试问关于x的方程x²+mx+n=0是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明；
（3）若当-$\frac{3}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$时，抛物线y=x²+mx+n有最小值-3，求n与m的值．

Answer 1

分析 （1）把点M代入即可解决问题．
（2）由△=m²+4m+12=（m+2）²+8，因为有整数解，设△=（m+2）²+8=a²，根据（a+m+2）（a-m-2）=8，a+m+2，a-m-2奇偶相同，列出方程组即可求出m解决问题．
（3）分三种情形①当-$\frac{m}{2}$≤-$\frac{3}{2}$，②当-$\frac{3}{2}$＜-$\frac{m}{2}$≤$\frac{3}{2}$③当-$\frac{m}{2}$＞$\frac{3}{2}$，分别列出方程解决问题．

解答 解：（1）∵点M（1，-2）在抛物线y=x²+mx+n上
∴-2=1+m+n，
∴n=-3-m；
（2）x²+mx+n=0，
△=m²+4m+12=（m+2）²+8，
∵有整数解，
∴设△=（m+2）²+8=a²，
∵（a+m+2）（a-m-2）=8
∵a+m+2，a-m-2奇偶相同，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{a+m+2=2}\\{a-m-2=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a+m+2=4}\\{a-m-2=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a+m+2=-2}\\{a-m-2=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a+m+2=-4}\\{a-m-2=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{m=-3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{m=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{m=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{m=-3}\end{array}\right.$，
①当m=-3时，方程为x²-x-2=0满足条件，
∴x₁=2，x₂=-1，
②当m=-1时，方程为x²-3x=0满足条件，
∴x₁=0，x₂=3；
（3）∵y=（x+$\frac{m}{2}$）²-$\frac{{m}^{2}}{4}$-m-3，
①当-$\frac{m}{2}$≤-$\frac{3}{2}$时，x=-$\frac{3}{2}$，y=-3，
∴$\frac{9}{4}$-$\frac{3}{2}$m-m-3=-3，
∴m=$\frac{9}{10}$
∵m≥3，
∴m=$\frac{9}{10}$不符合题意，
②当-$\frac{3}{2}$＜-$\frac{m}{2}$≤$\frac{3}{2}$时，x=-$\frac{m}{2}$时，y=-3，
∴-$\frac{1}{4}$m²-m-3=-3，
∴m=0或-4．
m=-4不符合题意，
∴m=0，
③当-$\frac{m}{2}$＞$\frac{3}{2}$时，x=$\frac{3}{2}$时，y=-3，
∴$\frac{9}{4}$+$\frac{3}{2}$m-3-m=-3，
∴m=-$\frac{9}{2}$．
综上所述：m=0，n=-3或m=-$\frac{9}{2}$，n=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查二次函数的最值、一次函数等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．