Question

1．如图，在等腰△ABC中，CA=CB，AD是腰BC边上的高，△ACD的内切圆⊙E分别与边AD、BC相切于点F、G，连AE、BE．
（1）求证：AF=BG；
（2）过E点作EH⊥AB于H，试探究线段EH与线段AB的数量关系，并说明理由；
（3）若CA=CB=13，sin∠CAB=$\frac{12}{13}$，求⊙E的半径．

Answer 1

分析 （1）设△ACD的内切圆⊙E与边AC相切于点I，由题意得CI=CG．同理：AI=AF．再由CA=CB，CI=CG，则AI=BG，从而得出AF=BG．
（2）连接AE、BE、CE，由E是△ACD的内切圆的圆心，则∠ACE=∠BCE，可证明△ACE≌△BCE，则∠AEC=∠BEC，AE=BE，根据∠ADC=90°，可证明△ABE为等腰直角三角形，根据EH⊥AB，得出EH=$\frac{1}{2}$AB；
（3）由（2）知∠AEC=∠BEC、∠AEH=∠BEH，可得∠AEC+∠AEH=180°即点C、E、H三点共线，继而由CH⊥AB且AH=BH=$\frac{1}{2}$AB，结合CA=CB=13，sin∠CAB=$\frac{12}{13}$可求得CH、AH、EH及AB的长，最后根据S_△ABC=S_△ACE+S_△BCE+S_△ABE可得⊙E的半径．

解答 解：（1）设△ACD的内切圆⊙E与边AC相切于点I，
△ACD的内切圆⊙E与边BC相切于点G，
∴CI=CG．
同理：AI=AF．
∵CA=CB，CI=CG，
∴AI=BG．
又∵AI=AF，
∴AF=BG．

（2）EH=$\frac{1}{2}$AB，
理由：连接AE、BE、CE，

∵E是△ACD的内切圆的圆心，
∴CE平分∠ACB．
即∠ACE=∠BCE，
在△ACE和△BCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACE=∠BCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCE（SAS）．
∴∠AEC=∠BEC，AE=BE，
∵E是△ACD的内切圆的圆心，∠ADC=90°，
∵∠AEC=90°+$\frac{1}{2}$∠ADC=135°，
从而∠AEB=90°，又AE=BE，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∵EH⊥AB于H，
∴EH=$\frac{1}{2}$AB；

（3）由（2）知，∠AEC=∠BEC，∠AEH=∠BEH，
∴∠AEC+∠AEH=180°，即∠CEH=180°
∴点C、E、H三点共线，
∴CH⊥AB，且AH=BH=$\frac{1}{2}$AB，
在Rt△ACH中，∵AC=AB=13，sin∠CAB=$\frac{12}{13}$，
∴CH=AC•sin∠CAB=13×$\frac{12}{13}$=12，
AH=$\sqrt{A{C}^{2}-C{H}^{2}}$=5，
∴EH=AH=5，AB=10，
设⊙E的半径为R，
∵S_△ABC=S_△ACE+S_△BCE+S_△ABE，
∴$\frac{1}{2}$×10×12=$\frac{1}{2}$×13•R+$\frac{1}{2}$×13•R+$\frac{1}{2}$×10×5，
解得：R=$\frac{35}{13}$，
故⊙E的半径为$\frac{35}{13}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆和内心以及切线长定理，解这类题一般利用过内心向三角形的一边作垂线，则三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形，解这个直角三角形，可求出相关的边长或角的度数．