【题目】如图1,已知抛物线C1:与x轴的一个交点为A(-1,0),另一个交点为B,与轴的交点为C(0,-3),其顶点为D.
(1)求抛物线C1的解析式;
(2)如图1,将△OBC沿轴向右平移m个单位长度(0﹤≤)得到另一个三角形△EFG,将△EFG与△BCD重叠部分(四边形BPGQ)的面积记为S,用含m的代数式表示S;
(3)如图2,将抛物线C1平移,使其顶点为原点O,得到抛物线C2.若直线与抛物线C2交于S、T两点,点是线段ST上一动点(不与S、T重合),试探究抛物线C2上是否存在一点R,点R关于点N的中心对称点K也在抛物线C2上.
【答案】(1);(2)S=;(3)存在一点R,点R关于点的中心对称点K也在抛物线上.
【解析】
(1)将已知的抛物线上两点的坐标代入抛物线中进行求解即可.
(2)、(3)见详解.
解:(1)∵ ,在抛物线上
∴ 解得
∴抛物线的解析式为
(2)设直线的解析式为,
则 解得
∴ 直线的解析式为.
△沿轴向右平移个单位长度(0﹤≤)得到△
易得直线的解析式为
设直线的解析式为
则 解得
则直线的解析式为
如图交于点,交于点,则,
联立 解得
即点(,)
∴
=
(3)设(,4),若抛物线:上存在一点(,),
则点关于点成中心对称的点为K(,)
假设(,)在抛物线:上
∴
整理得关于 的一元二次方程
∵ 点(,4)在线段上且不与、重合
∴ 则
∴
故关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
∴抛物线上存在一点R,点R关于点的中心对称点K也在抛物线上.
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【题目】如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6厘米,BC=8厘米.点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动(到达点B即停止运动),点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动(到达点C即停止运动).
(1)如果P,Q分别从A,B两点同时出发,经过几秒钟,△PBQ的面积等于△ABC面积的三分之一?
(2)如果P,Q两点分别从A,B两点同时出发,几秒钟后,P,Q相距6厘米?
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【题目】学习了三角形全等的判定方法(即SSS,SAS,ASA,AAS)和直角三角形全等的判定方法(即HL)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.
(初步思考)
我们不妨将问题用符号语言表示为:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后对∠B进行分类,可以分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
(深入探究)
第一种情况:当∠B为锐角时,△ABC和△DEF不一定全等.
(1)如图,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是锐角,请你用尺规在图中确定点D,使△DEF和△ABC不全等(不写作法,保留作图痕迹);
第二种情况:当∠B为直角时,△ABC≌△DEF.
(2)如图,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据____,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第三种情况:当∠B为钝角时,△ABC≌△DEF.
(3)如图,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是钝角,求证:△ABC≌△DEF.
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【题目】如图,锐角△ABC 中,BC=12,BC 边上的高 AD=8,矩形 EFGH 的边 GH在 BC 上,其余两点 E、F 分别在 AB、AC 上,且 EF 交 AD 于点 K
(1) 求 的值
(2) 设 EH=x,矩形 EFGH 的面积为 S
① 求 S 与 x 的函数关系式
② 请直接写出 S 的最大值
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【题目】如图,点B、D、E在一条直线上,BE与AC相交于点F,且
⑴求证:△ABC∽△ADE;
⑵求证:∠BAD=∠CAE;
⑶若∠BAD=18°,求∠EBC的度数.
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【题目】如图,中俄“海上联合—2017”军事演习在海上编队演习中,两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发,一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行,二号舰以16海里/小时速度航行,离开港口1.5小时后它们分别到达A,B两点,相距30海里,则二号舰航行的方向是( )
A. 南偏东30° B. 北偏东30° C. 南偏东 60° D. 南偏西 60°
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【题目】如图,在矩形ABCD中,点E为AD上一点,且AB=8,AE=3,BC=4,点P为AB上一动点,连接PC、PE,若PAE与PBC是相似三角形,则满足条件的点P的个数有________个.
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