Question

18．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（2，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3），连接AB．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．

Answer 1

分析 （1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；
（3）过P作y轴的平行线，交AC于Q；易求得直线AC的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于△PAC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出△PAC的最大面积及对应的P点坐标．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-1
把A（0，3）代入得：3=4a-1
解得：a=1，
故 y=（x-2）²-1
=x²-4x+3；

（2）抛物线的对称轴与⊙C相离
理由如下：
如图1，过点C作CE⊥BD于E
令y=0，则x²-4x+3=0
解得：x₁=1，x₂=3
则B（1，0），C（3，0），A（0，3），
故AB=$\sqrt{10}$，
∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△AOB～△BEC
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{OB}{CE}$，
∴$\frac{\sqrt{10}}{2}$=$\frac{1}{EC}$，
∴CE=$\frac{1}{5}$$\sqrt{10}$，
∴BF=CE=1＞$\frac{1}{5}$$\sqrt{10}$，
∴抛物线的对称轴与⊙C相离；

（3）设P（m，m²-4m+3），如图2，过点P作作PQ∥y轴交AC于点Q，
设AC的解析式为：y=kx+b，
故$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
故AC的解析式为：y=-x+3，
则Q（m，-m+3），
则PQ=-m+3-（m²-4m+3）=-m²+3m，
S_△PAC=S_△AQP+S_△CQP
=$\frac{1}{2}$×3（-m²+3m），
=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m，
则m=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{9}{2}$÷3=$\frac{3}{2}$，
把m=$\frac{3}{2}$代入得：-$\frac{3}{2}$×$\frac{9}{4}$+$\frac{9}{2}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{27}{8}$，
故p（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{4}$），
则S_△PAC的最大值=$\frac{27}{8}$．

点评 此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识，正确表示出S_△PAC=S_△AQP+S_△CQP是解题关键．