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4.阅读材料:若a,b都是非负实数,则a+b≥2$\sqrt{ab}$.当且仅当a=b时,“=”成立.
证明∵($\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$)2≥0,∴a-2$\sqrt{ab}$+b≥0.∴a+b≥2$\sqrt{ab}$.当且仅当a=b时,“=”成立.
(1)已知x>0,求函数y=2x+$\frac{2}{x}$的最小值.
(2)问题解决:
汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度.某种汽车在每小时70~110公里之间行驶时(含70公里和110公里),每公里耗油($\frac{1}{18}$+$\frac{450}{{x}^{2}}$)升.若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶,1小时的耗油量为y升.
①求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围);
②求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量(结果保留小数点后一位).

分析 (1)根据y=2x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{2x×\frac{2}{x}}$=4.得到当且仅当2x=$\frac{2}{x}$,即x=1时,“=”成立.从而确定当x=1时,函数取得最小值,y最小=4;
(2)①根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可;
②经济时速就是耗油量最小的形式速度.

解答 解:(1)y=2x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{2x×\frac{2}{x}}$=4.当且仅当2x=$\frac{2}{x}$,即x=1时,“=”成立.
当x=1时,函数取得最小值,y最小=4;
(2)①∵汽车在每小时70~110公里之间行驶时(含70公里和110公里),每公里耗油($\frac{1}{18}$+$\frac{450}{x2}$)升,
∴y=x×($\frac{1}{18}$+$\frac{450}{x2}$)=$\frac{x}{18}$+$\frac{450}{x}$(70≤x≤110);
②根据材料得:当$\frac{x}{18}$=$\frac{450}{x}$时有最小值,
解得:x=90,
经检验x=90是原方程的解,
∴该汽车的经济时速为90千米/时;
当x=90时百公里耗油量为100×($\frac{1}{18}$+$\frac{450}{8100}$)≈11.1(升).

点评 考查了二次函数的应用,解题的关键是读懂题目提供的材料,易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”,难度中等偏上.

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