Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点．

（1）观察猜想：将图1中的△BCD绕点O逆时针旋转至图2中△ECF的位置，连接AC，DE，则线段AC与DE的数量关系是　 　，直线AC与DE的位置关系是　 　．

（2）类比探究：将图2中的△ECF绕点O逆时针旋转至图3的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由．

（3）拓展延伸：将图2中的△ECF在平面内旋转，设直线AC与DE的交点为M，若AB＝4，请直接写出BM的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】（1）AC＝DE，AC⊥DE；（2）（1）中的结论：AC＝DE，AC⊥DE仍然成立，见解析；（3）BM的最大值为﹣2，最小值为+2．

【解析】

(1)连接OA，OC，可证△AOC≌△DOE(SAS)；

(2)方法和(1)相同，易证△AOC≌△DOE(SAS)；

(3)在旋转过程中，取AD中点N，连接MN，BN，BM，BM、MN、BN不共线时构成三角形，由三角形边的关系“三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”可知：BN﹣MN＜BM＜BN+MN，当B，N，M共线时，

得到BM＝BN+MN和BM＝BN﹣MN分别为BN的最大值、最小值．

(1)如图1和图2，连接OA，OC，

∵正方形ABCD，

∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OB＝OC＝OD，∠AOD＝∠COE＝90°，

∴∠AOD+∠DOC＝∠COE+∠DOC，即∠AOC＝∠DOE，

∴△AOC≌△DOE(SAS)，

∴AC＝DE，∠ACO＝∠DEO，

∵∠DEO+∠EMO＝90°，∠EMO＝∠CMD，

∴∠ACO+∠CMD＝90°，

∴AC⊥DE，

故答案为：AC＝DE，AC⊥DE；

(2)(1)中的结论：AC＝DE，AC⊥DE仍然成立，

如图3，连接OA，OC，延长AC，ED交于M，

∵∠AOC+∠COD＝∠DOE+∠COD＝90°，

∴∠AOC＝∠DOE，

∵OA＝OC＝OD＝OE，

∴△AOC≌△DOE(SAS)，

∴∠OAC＝∠＝OCA＝∠ODE＝∠OED，

∵∠AOC+∠OAC+∠OCA＝180°，

∴∠AOC+∠OAC+∠OED＝180°，

∴∠OAC+∠AOE+∠OED＝270°，

∵∠OAC+∠AOE+∠OED+∠M＝360°，

∴∠M＝90°，

∴AC⊥DE；

(3)如图3，取AD中点N，连接MN，BN，BM，

AB＝AD＝4，

在Rt△AMD中，∠AMD＝90°，AN＝DN，∴MN＝AD＝×4＝2，

在Rt△ABN中，BN＝，

当△ECF在平面内旋转时，BN﹣MN≤BM≤BN+MN，

∴2﹣2≤BM≤2+2．

∴BM的最大值为2﹣2，最小值为2+2．