Question

【题目】如图，已知菱形ABCD中，，点E是BC边上的一点（不与B，C重合），以BE为边构造菱形BEFG，使点G落在AB的延长线上，连接BD，GE，射线FE交BD于点H.

（1）求证：四边形BGEH是平行四边形；

（2）请从下面AB两题中任选一题作答，我选择______题.

A.若四边形BGEH为菱形，则BD的长为_____.

B.连接HC，CF，BF，若，且四边形BHCF为矩形，则CF的长为______.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）A.5 ，B.3.

【解析】

（1）由菱形的性质，得到，，则得到，得到BD∥EG，又BG∥HE，即可得到结论成立；

（2）A、由四边形BEFG是菱形，则BG=BE，由四边形BGEH为菱形，则BG=BH=EH，得△BEH是等边三角形，则∠CDH=∠EHB=60°，得到△BCD是等边三角形，则BD=CD=5；

B、如图，连接HC，CF，BF，且四边形BHCF为矩形，则CH⊥BD，点H为对角线AC与BD的交点，此时CF=BH=，即可得到答案.

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴，，

∴，，

∴，

∵四边形BEFG是菱形，

∴，，

∴，

∴，

∴BD∥EG，

∵，

∴，

∴四边形BGEH是平行四边形；

（2）A、解：∵四边形BEFG是菱形，

∴BG=BE，

∵四边形BGEH为菱形，

∴BG=BH=EH，

∴BH=EH=BE，

∴△BEH是等边三角形，

∠BHE=60°，

∵HE∥DC，

∴∠BDC=60°，

∴△BCD是等边三角形，

∴BD=DC=AB=5；

故答案为：5.

B、解：如图，连接HC，CF，BF，

∵四边形BFCH是矩形，

∴CH⊥BD，CF=BH，

∵四边形ABCD是菱形，

∴点H是BD的中点，

∴BH=，

∴CF=3.

故答案为：3.